Resuelva la siguiente ecuación utilizando la factorización y explique (en profundidad) el proceso y reglas que utilizó para resolverla. La solución debe incluir múltiples pasos para que alguien que no esté familiarizado con el tema pueda entenderlo.
	2X^4-50X^2=0


Vamos a resolver la ecuación \( 2X^4 - 50X^2 = 0 \) utilizando la factorización. A continuación se presenta un proceso detallado paso a paso:

### Paso 1: Simplificar la ecuación
Lo primero que podemos hacer es observar que los dos términos tienen un factor común, lo cual nos ayudará a simplificar la ecuación. El factor común en ambos términos es \( 2X^2 \). Vamos a factorizarlo:

\[
2X^4 - 50X^2 = 2X^2(X^2 - 25) = 0
\]

### Paso 2: Aplicar la propiedad del producto cero
Una vez que hemos factorizado la expresión, podemos aplicar la **propiedad del producto cero**, que dice que si el producto de dos factores es igual a cero, al menos uno de los factores debe ser igual a cero. Esto nos lleva a plantear dos ecuaciones:

1. \( 2X^2 = 0 \)
2. \( X^2 - 25 = 0 \)

### Paso 3: Resolver cada ecuación por separado

#### Ecuación 1: \( 2X^2 = 0 \)
Primero, resolvemos la ecuación más simple:

\[
2X^2 = 0
\]

Dividimos ambos lados de la ecuación entre 2:

\[
X^2 = 0
\]

Tomando la raíz cuadrada en ambos lados:

\[
X = 0
\]

Así que una solución es \( X = 0 \).

#### Ecuación 2: \( X^2 - 25 = 0 \)
Ahora resolvemos la segunda ecuación:

\[
X^2 - 25 = 0
\]

Para resolver esta ecuación, sumamos 25 a ambos lados:

\[
X^2 = 25
\]

Luego, tomamos la raíz cuadrada en ambos lados:

\[
X = \pm \sqrt{25}
\]

Como \( \sqrt{25} = 5 \), obtenemos dos soluciones:

\[
X = 5 \quad \text{y} \quad X = -5
\]

### Paso 4: Escribir todas las soluciones
Después de resolver ambas ecuaciones, tenemos tres soluciones:

\[
X = 0, \quad X = 5, \quad X = -5
\]

### Explicación de las reglas utilizadas:

1. **Factorización común**: Identificamos un factor común en los términos \( 2X^4 \) y \( -50X^2 \), que en este caso fue \( 2X^2 \). Esto nos permitió simplificar la expresión en un producto de dos factores.
   
2. **Propiedad del producto cero**: Esta propiedad indica que si el producto de dos expresiones es cero, entonces al menos una de las expresiones debe ser cero. Esto nos permitió dividir la ecuación en dos ecuaciones más simples.

3. **Resolución de ecuaciones cuadráticas**: Para \( X^2 = 25 \), usamos el concepto de raíces cuadradas. Al tomar la raíz cuadrada de un número, se obtiene tanto la raíz positiva como la negativa (de ahí \( X = 5 \) y \( X = -5 \)).

### Solución final:
Las soluciones de la ecuación \( 2X^4 - 50X^2 = 0 \) son \( X = 0 \), \( X = 5 \) y \( X = -5 \).

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso en particular o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se puede factorizar cuando no hay un factor común evidente?
2. ¿Qué es una ecuación cuadrática y cómo se resuelve?
3. ¿Qué significa la propiedad del producto cero y por qué es útil?
4. ¿Por qué hay dos soluciones para \( X^2 = 25 \) y no una sola?
5. ¿Cómo afecta el signo al tomar raíces cuadradas en ecuaciones cuadráticas?

**Tip:** Al resolver ecuaciones, siempre busca primero si hay factores comunes para simplificar. Esto hace que el problema sea más fácil de manejar.

Resuelva la siguiente ecuación utilizando la factorización y explique (en profundidad) el proceso y reglas que utilizó para resolverla. La solución debe incluir múltiples pasos para que alguien que no esté familiarizado con el tema pueda entenderlo.
2X^4-50X^2=0

Discover how to solve the equation 2X^4 - 50X^2 using factoring with a detailed step-by-step explanation. This problem covers essential algebraic concepts, including factoring out common factors and applying the zero product property. Suitable for students in Grades 9-10.

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