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Voy a resolver los dos ejercicios que se presentan en la imagen:

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**Ejercicio 4) Calcular las medidas de \(x\) y \(y\):**

Se nos presenta un triángulo rectángulo con un ángulo de \(30^\circ\), otro de \(120^\circ\) y las longitudes de dos lados dados en términos de raíces cuadradas. Usaremos las relaciones trigonométricas para resolver las incógnitas.

Datos del triángulo:
- Un ángulo de \(30^\circ\).
- La hipotenusa mide \(10\sqrt{3}\) cm.
- Un cateto mide \(6\sqrt{3}\) cm.
  
Para encontrar \(x\) y \(y\), podemos utilizar las funciones trigonométricas:

1. **Para \(x\):**  
   Utilizamos la función seno, ya que:
   \[
   \sin(30^\circ) = \frac{x}{10\sqrt{3}}
   \]
   Como \(\sin(30^\circ) = 0.5\), tenemos:
   \[
   0.5 = \frac{x}{10\sqrt{3}} \quad \Rightarrow \quad x = 0.5 \cdot 10\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \, \text{cm}.
   \]

2. **Para \(y\):**  
   Usamos la función coseno:
   \[
   \cos(30^\circ) = \frac{y}{10\sqrt{3}}
   \]
   Sabemos que \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), por lo que:
   \[
   \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{y}{10\sqrt{3}} \quad \Rightarrow \quad y = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10\sqrt{3} = \frac{30}{2} = 15 \, \text{cm}.
   \]

**Resultado:**
- \(x = 5\sqrt{3}\) cm.
- \(y = 15\) cm.

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**Ejercicio 5) Calcular los ángulos interiores del romboide y los lados desconocidos:**

Se nos da un romboide con un perímetro de 22 cm. Sabemos que un romboide tiene dos pares de lados iguales. El perímetro es la suma de los cuatro lados, por lo que podemos utilizar esta información para encontrar los lados desconocidos.

**Paso 1: Encontrar los lados desconocidos**
Sabemos que:
- El lado \(ab\) mide \(4\) cm.
- El lado \(bc\) mide \(9\) cm.
- El perímetro del romboide es \(22\) cm, es decir:
  \[
  2(ab + bc) = 22 \quad \Rightarrow \quad ab + bc = 11 \, \text{cm}.
  \]
  
Dado que \(ab = 4\) cm, podemos encontrar \(bc\):
\[
ab + bc = 11 \quad \Rightarrow \quad 4 + bc = 11 \quad \Rightarrow \quad bc = 7 \, \text{cm}.
\]

**Paso 2: Ángulos interiores**
Los ángulos interiores en un romboide están formados por las diagonales y se puede suponer que forman ángulos opuestos iguales. Como los lados son paralelos, dos ángulos consecutivos suman \(180^\circ\). 

- Si el ángulo \( \angle a = 60^\circ \), entonces \( \angle b = 120^\circ \) porque son suplementarios.
  
**Resultado:**
- Los lados desconocidos son \(bc = 7\) cm.
- Los ángulos interiores son \(60^\circ\) y \(120^\circ\).

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¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los cálculos o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relativas:
1. ¿Cómo se podrían resolver estos problemas usando el teorema de Pitágoras?
2. ¿Qué otras funciones trigonométricas podrían usarse en lugar de seno y coseno?
3. ¿Cómo calcularíamos el área de un romboide si solo se conocen las longitudes de los lados?
4. ¿Cómo se utilizan las propiedades de los ángulos suplementarios en otros polígonos?
5. ¿Qué sucede si el ángulo \(30^\circ\) del triángulo cambia a \(45^\circ\)?

### Tip:
Recuerda que las funciones trigonométricas son esenciales para resolver triángulos rectángulos, y la clave es identificar correctamente el cateto adyacente, opuesto, y la hipotenusa.

Calcular las medidas de x e y en un triángulo rectángulo y calcular los ángulos interiores y lados desconocidos en un romboide con perímetro conocido.

Solve for x and y using trigonometric ratios in a right triangle. Learn how to calculate the interior angles and unknown side lengths of a rhombus, given the perimeter. Key concepts include trigonometry and properties of rhombuses.

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