Resuelve con aspa simple: 0=8x^2 + 22x -105

Para resolver la ecuación cuadrática \( 0 = 8x^2 + 22x - 105 \) usando el método de **aspa simple** (factoreo), seguimos estos pasos:

### 1. Escribir la ecuación cuadrática
La ecuación está en la forma estándar:
\[
8x^2 + 22x - 105 = 0
\]

### 2. Buscar dos números que multipliquen el coeficiente del término cuadrático \(8x^2\) y el término constante \(-105\), y que sumen el coeficiente del término lineal \(22x\).

Queremos dos números \( m \) y \( n \) tales que:
- \( m \times n = (8 \times -105) = -840 \)
- \( m + n = 22 \)

Buscamos los factores de \(-840\) que sumen \(22\).

Al buscar factores, encontramos que:
- \( m = 42 \)
- \( n = -20 \)

\[
42 \times -20 = -840 \quad \text{y} \quad 42 + (-20) = 22
\]

### 3. Descomponer el término lineal usando estos números:

\[
8x^2 + 42x - 20x - 105 = 0
\]

### 4. Agrupar y factorizar:

Agrupamos los términos para factorizar por separado:
\[
(8x^2 + 42x) - (20x + 105) = 0
\]

Factorizamos cada grupo:
\[
2x(4x + 21) - 5(4x + 21) = 0
\]

### 5. Factor común:

Sacamos el factor común \( (4x + 21) \):

\[
(4x + 21)(2x - 5) = 0
\]

### 6. Resolver las ecuaciones resultantes:

Las raíces se obtienen resolviendo las ecuaciones:
\[
4x + 21 = 0 \quad \text{y} \quad 2x - 5 = 0
\]

- Para \( 4x + 21 = 0 \):
\[
4x = -21 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{21}{4}
\]

- Para \( 2x - 5 = 0 \):
\[
2x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{2}
\]

### Solución Final:
Las soluciones de la ecuación cuadrática son:
\[
x = -\frac{21}{4} \quad \text{y} \quad x = \frac{5}{2}
\]

¿Te gustaría profundizar en algún paso o resolver más ecuaciones?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se usa el método de aspa simple para resolver ecuaciones cúbicas?
2. ¿Qué otros métodos existen para resolver ecuaciones cuadráticas?
3. ¿Cuál es la diferencia entre el método de factorización y la fórmula general?
4. ¿En qué situaciones es más conveniente usar la fórmula cuadrática en lugar de la factorización?
5. ¿Cómo se verifica si una ecuación cuadrática tiene soluciones reales sin resolverla?

### Tip:
Para ecuaciones cuadráticas, siempre revisa si es posible factorizar fácilmente antes de aplicar métodos más complejos como la fórmula cuadrática. Esto puede ahorrarte tiempo y simplificar el proceso.

Learn how to solve the quadratic equation 8x^2 + 22x - 105 using the simple cross method (factoring). This problem covers key algebraic concepts, including the quadratic equation formula and factoring methods. Suitable for students in Grades 7-9.

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