32. En un grupo de 70 personas se sabe que: 32 hablan
ingles, 26 español, 37 francés; 6 ingles y español, 9
español y francés y 12 ingles y francés. ¿Cuántos
hablan los tres idiomas?.

INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA “CIMA”

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

Sabio no es aquel hombre que lo sabe todo y enseña; sabio es aquel hombre que aprende y

pone atención

Profesor: Jorge Cruz Portugal 4to de secundaria
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Para resolver este problema, nuevamente utilizaremos el **principio de inclusión-exclusión** para determinar el número de personas que hablan los tres idiomas.

### Paso 1: Definir las variables

- \( A \): Conjunto de personas que hablan inglés.
- \( B \): Conjunto de personas que hablan español.
- \( C \): Conjunto de personas que hablan francés.

Los datos que tenemos son:
- \( |A| = 32 \) (hablan inglés)
- \( |B| = 26 \) (hablan español)
- \( |C| = 37 \) (hablan francés)
- \( |A \cap B| = 6 \) (hablan inglés y español)
- \( |B \cap C| = 9 \) (hablan español y francés)
- \( |A \cap C| = 12 \) (hablan inglés y francés)
- Total de personas: \( |U| = 70 \).

### Paso 2: Aplicar el principio de inclusión-exclusión

Queremos encontrar el número de personas que hablan los tres idiomas, es decir, \( |A \cap B \cap C| \).

La fórmula general del principio de inclusión-exclusión para tres conjuntos es:

\[
|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|
\]

El total de personas en el grupo es \( |U| = |A \cup B \cup C| = 70 \).

Sustituyendo los valores:

\[
70 = 32 + 26 + 37 - 6 - 9 - 12 + |A \cap B \cap C|
\]

### Paso 3: Resolver para \( |A \cap B \cap C| \)

Sumamos y restamos los valores dados:

\[
70 = 95 - 27 + |A \cap B \cap C|
\]

\[
70 = 68 + |A \cap B \cap C|
\]

\[
|A \cap B \cap C| = 70 - 68 = 2
\]

### Respuesta:

La cantidad de personas que hablan los tres idiomas es **2**.

Por lo tanto, la respuesta correcta es **A) 2**.

---

¿Te gustaría explorar más sobre cómo se utiliza el principio de inclusión-exclusión en diferentes situaciones?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas que podrían ser de interés:
1. ¿Cómo se extiende el principio de inclusión-exclusión a más de tres conjuntos?
2. ¿Qué errores comunes se cometen al aplicar este principio?
3. ¿Cómo resolver problemas de conteo cuando los conjuntos no son disjuntos?
4. ¿Cómo afecta la redundancia de información a los cálculos?
5. ¿Qué otros métodos existen para contar elementos en intersecciones de conjuntos?
6. ¿Cómo se visualizan estos problemas usando diagramas de Venn?
7. ¿Qué sucede si los datos proporcionados no son suficientes para aplicar el principio de inclusión-exclusión?
8. ¿Cómo se aplica este principio en problemas de probabilidad?

**Tip:** Al usar el principio de inclusión-exclusión, es útil escribir cada paso con cuidado, verificando que todas las intersecciones y uniones se cuenten correctamente.

Learn how to solve a problem involving the intersection of three language speakers using the Principle of Inclusion-Exclusion. This problem covers set theory concepts and involves calculating intersections and unions of sets. Suitable for Grade 10 students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation