La siguiente figura muestra un círculo de centro 0 y radio 5cm. Los puntos A,B y C pertenecen a la circunferencia y AOC=0,7 radianes a) (i) halle la longitud del arco ABC (ii) halle el perímetr del sector circular sombreado b) halle el área del sector circular sobreado

Para resolver el problema, vamos a dividirlo en partes y abordar cada una de ellas paso a paso.

### Parte a (i): Hallar la longitud del arco \(ABC\)
1. **Identificar los datos**:
   - Radio del círculo \(r = 5 \, \text{cm}\).
   - Ángulo central \( \angle AOC = 0.7 \, \text{radianes} \).

2. **Usar la fórmula para la longitud del arco**:
   La longitud de un arco en un círculo se calcula con la fórmula:
   \[
   L = r \cdot \theta
   \]
   donde:
   - \(L\) es la longitud del arco,
   - \(r\) es el radio del círculo,
   - \(\theta\) es el ángulo en radianes.

   Sustituyendo los valores dados:
   \[
   L = 5 \, \text{cm} \times 0.7 \, \text{rad} = 3.5 \, \text{cm}
   \]

   Entonces, la longitud del arco \( ABC \) es \( 3.5 \, \text{cm} \).

### Parte a (ii): Hallar el perímetro del sector circular sombreado
1. **Identificar los elementos del perímetro**:
   El perímetro del sector sombreado consiste en:
   - La longitud del arco \( ABC \) que ya calculamos (\(3.5 \, \text{cm}\)).
   - Las dos líneas rectas que conectan el centro \( O \) con los puntos \( A \) y \( C \), que corresponden al radio del círculo.

2. **Calcular el perímetro**:
   La fórmula para el perímetro del sector circular es:
   \[
   P = L + 2r
   \]
   Sustituyendo los valores:
   \[
   P = 3.5 \, \text{cm} + 2 \times 5 \, \text{cm} = 3.5 \, \text{cm} + 10 \, \text{cm} = 13.5 \, \text{cm}
   \]

   Entonces, el perímetro del sector circular sombreado es \( 13.5 \, \text{cm} \).

### Parte b: Hallar el área del sector circular sombreado
1. **Usar la fórmula para el área del sector**:
   El área de un sector circular se calcula con la fórmula:
   \[
   A = \frac{1}{2} r^2 \theta
   \]
   donde:
   - \(A\) es el área del sector,
   - \(r\) es el radio,
   - \(\theta\) es el ángulo en radianes.

   Sustituyendo los valores:
   \[
   A = \frac{1}{2} \times 5^2 \times 0.7 = \frac{1}{2} \times 25 \times 0.7 = 12.5 \times 0.7 = 8.75 \, \text{cm}^2
   \]

   Entonces, el área del sector circular sombreado es \( 8.75 \, \text{cm}^2 \).

¿Tienes alguna duda o te gustaría más detalles?

### Preguntas Relacionadas
1. ¿Cómo se calcula la longitud del arco si el ángulo estuviera en grados?
2. ¿Qué sucede con el perímetro del sector si se aumenta el radio?
3. ¿Cómo se determina el área de un segmento circular (no un sector)?
4. ¿Cuál es la diferencia entre el sector y el segmento en términos de geometría circular?
5. ¿Qué método se puede usar para convertir un ángulo en radianes a grados?

**Tip:** Recordar que para trabajar en radianes, la longitud del arco y el área del sector son directamente proporcionales al ángulo.

Learn how to calculate the arc length and area of a shaded circular sector with a detailed step-by-step solution. This problem involves geometry concepts such as circle sectors, arc length formula, and sector area formula. Suitable for high school students.

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