Bestäm alla reella lösningar till ekvationen 4e^3x-24e^2x+20e^x=0

För att bestämma alla reella lösningar till ekvationen \(4e^{3x} - 24e^{2x} + 20e^x = 0\), kan vi följa dessa steg:

1. **Substitution**:
   Låt \(u = e^x\). Då blir \(e^{2x} = u^2\) och \(e^{3x} = u^3\).
   
   Substituera in dessa i ekvationen:
   \[
   4u^3 - 24u^2 + 20u = 0
   \]

2. **Faktorisering**:
   Vi kan faktorisera ut den gemensamma faktorn \(4u\):
   \[
   4u(u^2 - 6u + 5) = 0
   \]
   Detta ger oss:
   \[
   4u = 0 \quad \text{eller} \quad u^2 - 6u + 5 = 0
   \]

3. **Lösning av faktorerna**:
   - \(4u = 0\) ger \(u = 0\). Eftersom \(u = e^x\) och \(e^x\) aldrig kan vara noll, är denna lösning inte giltig.
   - För den kvadratiska ekvationen \(u^2 - 6u + 5 = 0\) kan vi använda kvadratisk lösning:
     \[
     u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}
     \]
     Detta ger:
     \[
     u = \frac{6 + 4}{2} = 5 \quad \text{och} \quad u = \frac{6 - 4}{2} = 1
     \]

4. **Återgå till \(x\)**:
   Eftersom \(u = e^x\):
   \[
   e^x = 5 \quad \text{eller} \quad e^x = 1
   \]
   - Om \(e^x = 1\) så är \(x = \ln(1) = 0\).
   - Om \(e^x = 5\) så är \(x = \ln(5)\).

Alltså, de reella lösningarna till ekvationen är:
\[
x = 0 \quad \text{och} \quad x = \ln(5)
\]

Vill du ha fler detaljer eller har du några frågor? Här är några relaterade frågor för att fördjupa förståelsen:

1. Hur fungerar substitutionsmetoden i allmänhet vid lösning av exponentiella ekvationer?
2. Vad är det logiska steget bakom faktoriseringsmetoden som användes här?
3. Varför kan \(e^x\) aldrig vara noll?
4. Hur löser man en kvadratisk ekvation?
5. Varför är logaritmen en lämplig operation för att lösa \(e^x = 5\)?
6. Vad är grundprincipen för att faktorisera en polynomfunktion?
7. Hur kan man verifiera lösningarna till en given ekvation?
8. Kan du ge ett annat exempel på en ekvation som kan lösas med liknande metod?

**Tips:** För att lösa exponentiella ekvationer är det ofta effektivt att använda logaritmer för att hantera exponenterna, speciellt när ekvationen inte enkelt kan faktoriseras.

Learn how to solve the exponential equation 4e^3x - 24e^2x + 20e^x with a detailed step-by-step solution. This problem covers key mathematical concepts including exponential functions, substitution method, quadratic equations, and logarithmic functions. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation