Résoudre ce système dans l'ensemble des complexes : d'une part -2iZ1+2iZ2=18+6i et d'autre part -5Z1+iZ2=9-23i     Déterminer la forme algébrique de Z1 ET Z2

Pour résoudre ce système dans l'ensemble des nombres complexes, nous allons traiter les équations comme des systèmes linéaires où les inconnues \( Z_1 \) et \( Z_2 \) sont des nombres complexes. 

Nous avons le système suivant :

\[
\begin{cases}
-2i Z_1 + 2i Z_2 = 18 + 6i \quad (1) \\
-5 Z_1 + i Z_2 = 9 - 23i \quad (2)
\end{cases}
\]

### Étape 1 : Exprimer \( Z_1 \) et \( Z_2 \) sous forme algébrique
Soit \( Z_1 = x_1 + i y_1 \) et \( Z_2 = x_2 + i y_2 \), où \( x_1, y_1, x_2, y_2 \) sont des réels.

On substitue dans les deux équations. Commençons par l'équation (1) :

\[
-2i(x_1 + i y_1) + 2i(x_2 + i y_2) = 18 + 6i
\]

Cela donne, après développement :

\[
2 y_1 + 2 i x_1 - 2 y_2 - 2 i x_2 = 18 + 6i
\]

En séparant les parties réelles et imaginaires, on obtient deux équations :

\[
\begin{cases}
2 y_1 - 2 y_2 = 18 \quad (3) \\
2 x_1 - 2 x_2 = 6 \quad (4)
\end{cases}
\]

### Étape 2 : Simplification
On peut simplifier les équations (3) et (4) :

\[
\begin{cases}
y_1 - y_2 = 9 \quad (5) \\
x_1 - x_2 = 3 \quad (6)
\end{cases}
\]

### Étape 3 : Utiliser l'équation (2)
Prenons maintenant l'équation (2) :

\[
-5(x_1 + i y_1) + i(x_2 + i y_2) = 9 - 23i
\]

Cela donne, après développement :

\[
-5x_1 - 5i y_1 + i x_2 - y_2 = 9 - 23i
\]

En séparant les parties réelles et imaginaires, on obtient :

\[
\begin{cases}
-5 x_1 - y_2 = 9 \quad (7) \\
-5 y_1 + x_2 = -23 \quad (8)
\end{cases}
\]

### Étape 4 : Résolution du système
On peut maintenant résoudre le système formé par les équations (5), (6), (7) et (8).

De l'équation (5) : 
\[ y_1 = y_2 + 9 \]

Substituons cela dans l'équation (7) :

\[
-5 x_1 - y_2 = 9
\]
Avec \( x_1 = x_2 + 3 \) (de l'équation (6)), on obtient :

\[
-5(x_2 + 3) - y_2 = 9
\]
\[
-5x_2 - 15 - y_2 = 9
\]
\[
-5x_2 - y_2 = 24 \quad (9)
\]

De l'équation (8), on a :

\[
-5(y_2 + 9) + x_2 = -23
\]
\[
-5y_2 - 45 + x_2 = -23
\]
\[
x_2 - 5y_2 = 22 \quad (10)
\]

### Étape 5 : Résolution des équations (9) et (10)
On résout maintenant le système :

\[
\begin{cases}
-5x_2 - y_2 = 24 \\
x_2 - 5y_2 = 22
\end{cases}
\]

Multipliant la deuxième équation par 5 pour faciliter l'élimination :

\[
\begin{cases}
-5x_2 - y_2 = 24 \\
5x_2 - 25y_2 = 110
\end{cases}
\]

Additionnons les deux équations :

\[
-26y_2 = 134
\]
\[
y_2 = -\frac{134}{26} = -\frac{67}{13}
\]

Substituons \( y_2 \) dans l'équation \( x_2 - 5y_2 = 22 \) :

\[
x_2 - 5\left(-\frac{67}{13}\right) = 22
\]
\[
x_2 + \frac{335}{13} = 22
\]
\[
x_2 = 22 - \frac{335}{13} = \frac{286}{13} - \frac{335}{13} = -\frac{49}{13}
\]

### Étape 6 : Calcul de \( Z_1 \)
Avec \( x_1 = x_2 + 3 \) et \( y_1 = y_2 + 9 \), nous avons :

\[
x_1 = -\frac{49}{13} + 3 = \frac{-49 + 39}{13} = \frac{-10}{13}
\]
\[
y_1 = -\frac{67}{13} + 9 = \frac{-67 + 117}{13} = \frac{50}{13}
\]

Ainsi,

\[
Z_1 = \frac{-10}{13} + i\frac{50}{13}
\]

### Étape 7 : Calcul de \( Z_2 \)
Avec \( x_2 = -\frac{49}{13} \) et \( y_2 = -\frac{67}{13} \), nous avons :

\[
Z_2 = \frac{-49}{13} + i\frac{-67}{13}
\]

### Conclusion

Les solutions sont :

\[
Z_1 = \frac{-10}{13} + i\frac{50}{13}
\]
\[
Z_2 = \frac{-49}{13} + i\frac{-67}{13}
\]

---

Est-ce que vous souhaitez plus de détails sur une des étapes ?  
Voici 5 questions qui pourraient prolonger cette analyse :

1. Comment résoudre un système complexe à plusieurs inconnues ?
2. Quelle est la différence entre la forme algébrique et la forme exponentielle des complexes ?
3. Comment exprimer un nombre complexe sous forme trigonométrique ?
4. Pourquoi est-il important de séparer les parties réelles et imaginaires lors de la résolution ?
5. Comment les équations linéaires complexes peuvent-elles être utilisées dans des applications réelles ?

**Astuce** : Lorsque vous travaillez avec des systèmes d'équations complexes, traitez-les comme des systèmes linéaires en séparant soigneusement les parties réelles et imaginaires.

Résoudre ce système dans l'ensemble des complexes : d'une part -2iZ1+2iZ2=18+6i et d'autre part -5Z1+iZ2=9-23i. Déterminer la forme algébrique de Z1 ET Z2.

Learn how to solve a system of linear equations involving complex numbers. This detailed solution walks through separating real and imaginary parts, using substitution and elimination methods, and finding the algebraic forms of Z1 and Z2. Suitable for advanced students in high school or university-level courses.

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