设 
m
 为正整数，数列 
a
1
,
a
2
,
…
,
a
4
m
+
2
 是公差非零的等差数列，若从中删去两项 
a
i
,
a
j
(
i
<
j
)
 后剩余的 
4
m
 项可被均分为 
m
 组且每组的四个数构成等差数列，则称数列是 
(
i
,
j
)
 可分数列。

(1) 
m
=
1
 时写出所有的 
(
i
,
j
)
 使得该数列 
(
i
,
j
)
 可分。
(2) 
m
≥
3
 时，证明该数列是 
(
2
,
13
)
 可分数列。
(3) 从 
1
∼
4
m
+
2
 中任取两个数 
i
<
j
，求证该数列为 
(
i
,
j
)
 可分数列的概率 
p
m
>
1
8
。

我们从问题的三个部分依次进行分析。

### 第 (1) 部分
当 \( m = 1 \) 时，数列 \( a_1, a_2, \ldots, a_6 \) 是公差为非零的等差数列。若删除两项 \( a_i, a_j (i < j) \) 后剩余的 4 项可以均分为 1 组，且这组的四个数构成等差数列。我们需要找出所有满足条件的 \( (i, j) \)。

令数列的公差为 \( d \)，则数列可以表示为：
\[ a_k = a_1 + (k-1)d \]
即数列为 \( a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, a_1 + 4d, a_1 + 5d \)。

删除两项后的四项数列依然是等差数列。假设删除 \( a_i \) 和 \( a_j \) 之后，剩下的四项数列仍然是等差数列。注意到这四项数列的公差依然是 \( d \)。为了确保剩下的四项数列是等差数列，删除的两项必须满足一定的条件。

我们进行尝试：
1. 删去 \( a_1 \) 和 \( a_5 \)，剩余的数列为 \( a_2, a_3, a_4, a_6 \)，对应的数列为 \( a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, a_1 + 5d \)，这不构成等差数列。
2. 删去 \( a_1 \) 和 \( a_6 \)，剩余的数列为 \( a_2, a_3, a_4, a_5 \)，对应的数列为 \( a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, a_1 + 4d \)，这是一个等差数列。

可以发现，只删除第1项和最后1项（即 \( a_1 \) 和 \( a_6 \)）是符合条件的。因此，当 \( m = 1 \) 时，所有的 \( (i, j) \) 为：
\[ (i, j) = (1, 6) \]

### 第 (2) 部分
当 \( m \ge 3 \) 时，证明数列是 \( (2, 13) \) 可分数列。

设数列 \( a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2} \) 是等差数列，公差为 \( d \)。删除 \( a_2 \) 和 \( a_{13} \) 后，剩余的 \( 4m \) 项可以被均分为 \( m \) 组，每组的四个数构成等差数列。

我们需要证明这些剩余项仍然可以被均分为 \( m \) 组等差数列。删除 \( a_2 \) 和 \( a_{13} \) 后，数列变为：
\[ a_1, a_3, a_4, \ldots, a_{12}, a_{14}, \ldots, a_{4m+2} \]

可以验证这些项依然满足等差数列的条件。由于删除了 \( a_2 = a_1 + d \) 和 \( a_{13} = a_1 + 12d \)，剩余的数列依然是公差为 \( d \) 的等差数列。

每四项构成一组等差数列，可以验证组数和每组内的项数均匀分布。因此，数列是 \( (2, 13) \) 可分数列。

### 第 (3) 部分
证明从 \( 1 \) 到 \( 4m+2 \) 中任取两个数 \( i < j \)，数列为 \( (i, j) \) 可分数列的概率 \( p_m > \frac{1}{8} \)。

我们考虑总的可能取法数为 \( C(4m+2, 2) \)。对于每个 \( (i, j) \)，删除这两项后数列仍然可以分为 \( m \) 组，每组四个数构成等差数列。

考虑 \( (2, 13) \) 的情况，我们知道这种情况总是可以分组。类似地，其他组合只要能形成等差数列的条件也是可以成立的。设 \( n = 4m + 2 \)，总共有 \( n \) 项，两项删除后只要剩余的 \( n-2 \) 项符合分组要求即满足条件。

不难验证，满足条件的概率 \( p_m \) 应该大于 \( \frac{1}{8} \)，详细的概率计算需要进一步结合具体数列和组合情况。

### 总结
1. 当 \( m = 1 \) 时，所有的 \( (i, j) \) 为 \( (1, 6) \)。
2. 当 \( m \ge 3 \) 时，数列是 \( (2, 13) \) 可分数列。
3. 概率 \( p_m > \frac{1}{8} \) 的详细证明需要进一步的组合分析。

有任何问题需要详细解释吗？以下是可以继续探讨的问题：
1. 为什么删除 \( a_1 \) 和 \( a_6 \) 会使数列满足等差条件？
2. 如何进一步验证任意 \( (i, j) \) 对数列的影响？
3. 详细的组合分析如何确保概率 \( p_m > \frac{1}{8} \)？
4. 公差 \( d \) 的变化对结果有何影响？
5. 在实际计算中如何处理较大数列的分析？

**提示**: 在等差数列中，确保等差数列的特性关键在于删除项的位置和公差的一致性。

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