déterminer z1 et z2 : ON cherche à résoudre dans C ce système : d’une part : 3z1 +5iz2=25-28i et d’autre part : -iz1-3iz2=-7+10i

Nous avons le système suivant dans le plan complexe \(\mathbb{C}\) :

\[
\begin{cases}
3z_1 + 5iz_2 = 25 - 28i \\
-iz_1 - 3iz_2 = -7 + 10i
\end{cases}
\]

### Étape 1 : Écrire le système sous une forme plus simple

On réécrit les deux équations en séparant les parties réelles et imaginaires. Posons \(z_1 = x_1 + iy_1\) et \(z_2 = x_2 + iy_2\), où \(x_1, y_1, x_2, y_2\) sont des réels. On remplace \(z_1\) et \(z_2\) dans le système.

Pour la première équation :

\[
3(x_1 + iy_1) + 5i(x_2 + iy_2) = 25 - 28i
\]
Cela donne :
\[
3x_1 + 3iy_1 + 5ix_2 - 5y_2 = 25 - 28i
\]
En séparant les parties réelles et imaginaires :
\[
(3x_1 - 5y_2) + i(3y_1 + 5x_2) = 25 - 28i
\]
On en déduit :
\[
\begin{cases}
3x_1 - 5y_2 = 25 \\
3y_1 + 5x_2 = -28
\end{cases}
\]

Pour la deuxième équation :

\[
-i(x_1 + iy_1) - 3i(x_2 + iy_2) = -7 + 10i
\]
Cela donne :
\[
-ix_1 + y_1 - 3ix_2 + 3y_2 = -7 + 10i
\]
En séparant les parties réelles et imaginaires :
\[
(y_1 + 3y_2) + i(-x_1 - 3x_2) = -7 + 10i
\]
On en déduit :
\[
\begin{cases}
y_1 + 3y_2 = -7 \\
-x_1 - 3x_2 = 10
\end{cases}
\]

### Étape 2 : Résoudre le système

Nous avons donc le système suivant à résoudre :

\[
\begin{cases}
3x_1 - 5y_2 = 25 \\
3y_1 + 5x_2 = -28 \\
y_1 + 3y_2 = -7 \\
-x_1 - 3x_2 = 10
\end{cases}
\]

Résolvons ce système par substitution ou par méthode matricielle.

1. De la dernière équation, on a \(x_1 = -10 - 3x_2\).
2. On remplace \(x_1\) dans la première équation :
   \[
   3(-10 - 3x_2) - 5y_2 = 25 \Rightarrow -30 - 9x_2 - 5y_2 = 25 \Rightarrow -9x_2 - 5y_2 = 55
   \]
   Ce qui donne :
   \[
   9x_2 + 5y_2 = -55 \quad \text{(1)}
   \]
3. Utilisons maintenant la troisième équation \(y_1 + 3y_2 = -7\) pour exprimer \(y_1\) : \(y_1 = -7 - 3y_2\).
4. On remplace \(y_1\) dans la deuxième équation :
   \[
   3(-7 - 3y_2) + 5x_2 = -28 \Rightarrow -21 - 9y_2 + 5

Learn how to solve the system of equations in the complex number domain with detailed steps. This problem involves separating real and imaginary parts of complex numbers and solving linear equations, suitable for undergraduate mathematics students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation