Pour résoudre l'équation \(\frac{z+i}{z-i} = 1+i\) dans \(\mathbb{C}\), où \(z\) est un nombre complexe, suivons les étapes suivantes :

### 1. Représentation de \(z\) sous forme algébrique :
Soit \(z = x + iy\) où \(x, y \in \mathbb{R}\).

### 2. Substitution de \(z\) dans l'équation :
\[
\frac{(x + iy) + i}{(x + iy) - i} = 1 + i
\]
Ce qui donne :
\[
\frac{x + i(y+1)}{x + i(y-1)} = 1 + i
\]

### 3. Multiplication des deux côtés par le dénominateur :
Multipliant les deux côtés par le dénominateur \((x + i(y-1))\), nous obtenons :
\[
(x + i(y+1)) = (1 + i)(x + i(y-1))
\]

### 4. Développement du produit à droite :
Développons le produit à droite :
\[
(x + i(y+1)) = (1 + i)(x + i(y-1))
\]
\[
= (1 \cdot x + 1 \cdot i(y-1) + i \cdot x + i^2(y-1))
\]
\[
= x + i(y-1) + ix + i^2(y-1)
\]
\[
= x + ix + i(y-1) - (y-1)
\]
\[
= (x - (y-1)) + i(x + (y-1))
\]

### 5. Équation des parties réelles et imaginaires :
En comparant les parties réelles et imaginaires des deux côtés, nous obtenons :
- Partie réelle : \(x = x - (y - 1)\)
- Partie imaginaire : \(y + 1 = x + y - 1\)

Ces équations se simplifient en :
1. \(0 = -y + 1 \Rightarrow y = 1\)
2. \(y + 1 = x + y - 1 \Rightarrow x = 2\)

### 6. Solution :
Ainsi, la solution est :
\[
z = 2 + i
\]

---

Est-ce que vous souhaitez des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Voici cinq questions pour approfondir :
1. Comment vérifier que \(z = 2 + i\) est une solution de l'équation donnée ?
2. Quelle est l'importance de distinguer les parties réelles et imaginaires dans les équations complexes ?
3. Que se passe-t-il si vous multipliez les deux côtés de l'équation par le conjugué du dénominateur ?
4. Pouvez-vous exprimer \(z\) en termes polaires et résoudre l'équation ?
5. Quels sont les avantages et les inconvénients de représenter un nombre complexe sous forme algébrique par rapport à la forme polaire ?

**Astuce** : Quand vous travaillez avec des équations complexes, il est souvent utile de multiplier par le conjugué pour simplifier les expressions complexes.

Learn how to solve the complex equation (z+i)/(z-i)=1+i step-by-step with a detailed solution. This problem involves complex numbers and requires understanding algebraic manipulation and comparison of real and imaginary parts. Suitable for advanced high school students.

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