|3-x| + 1 = |2x-2| usando conjunto de soluciones

Para resolver la ecuación \( |3-x| + 1 = |2x-2| \) utilizando el conjunto de soluciones, seguimos estos pasos:

1. **Definir los casos para las expresiones absolutas:**

   La expresión \( |a| \) se define como:
   \[
   |a| = 
   \begin{cases} 
   a & \text{si } a \geq 0, \\
   -a & \text{si } a < 0.
   \end{cases}
   \]

   Entonces, necesitamos considerar los casos en los cuales las expresiones dentro de los valores absolutos cambian de signo.

   Para \( |3-x| \):
   - \( 3-x \geq 0 \) implica \( x \leq 3 \).
   - \( 3-x < 0 \) implica \( x > 3 \).

   Para \( |2x-2| \):
   - \( 2x-2 \geq 0 \) implica \( x \geq 1 \).
   - \( 2x-2 < 0 \) implica \( x < 1 \).

2. **Plantear y resolver los diferentes casos:**

   - **Caso 1: \( x \leq 1 \)**

     Aquí \( |3-x| = 3-x \) y \( |2x-2| = -(2x-2) = -2x + 2 \).

     La ecuación se convierte en:
     \[
     3-x + 1 = -2x + 2.
     \]
     Simplificando:
     \[
     4 - x = -2x + 2.
     \]
     Sumando \( 2x \) y restando \( 4 \) a ambos lados:
     \[
     x = -2.
     \]
     Como \( x = -2 \leq 1 \), es una solución válida en este caso.

   - **Caso 2: \( 1 < x \leq 3 \)**

     Aquí \( |3-x| = 3-x \) y \( |2x-2| = 2x-2 \).

     La ecuación se convierte en:
     \[
     3-x + 1 = 2x - 2.
     \]
     Simplificando:
     \[
     4 - x = 2x - 2.
     \]
     Sumando \( x \) y \( 2 \) a ambos lados:
     \[
     6 = 3x,
     \]
     lo que da:
     \[
     x = 2.
     \]
     Como \( 1 < x = 2 \leq 3 \), es una solución válida en este caso.

   - **Caso 3: \( x > 3 \)**

     Aquí \( |3-x| = -(3-x) = x-3 \) y \( |2x-2| = 2x-2 \).

     La ecuación se convierte en:
     \[
     x-3 + 1 = 2x - 2.
     \]
     Simplificando:
     \[
     x - 2 = 2x - 2.
     \]
     Restando \( x \) a ambos lados:
     \[
     -2 = x.
     \]
     Esta solución no es válida, porque \( x = -2 \) no cumple con la condición \( x > 3 \).

3. **Conclusión:**

   Las soluciones válidas de la ecuación son \( x = -2 \) y \( x = 2 \).

   Por lo tanto, el **conjunto de soluciones** es:
   \[
   S = \{-2, 2\}.
   \]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre este procedimiento? Aquí hay cinco preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Cómo se resuelven ecuaciones con valor absoluto sin utilizar conjuntos de soluciones?
2. ¿Qué sucede si se añaden más términos con valor absoluto a la ecuación?
3. ¿Cómo se interpretan gráficamente las soluciones de esta ecuación?
4. ¿Qué técnicas existen para resolver ecuaciones cuadráticas con valores absolutos?
5. ¿Cómo se resolverían estas ecuaciones en sistemas de desigualdades?

**Tip:** Cuando resuelvas ecuaciones con valor absoluto, siempre verifica que las soluciones encontradas satisfacen las condiciones iniciales de los casos considerados.

This tutorial explains how to solve the absolute value equation |3-x| + 1 = |2x-2| using the set of solutions approach. It covers key algebraic concepts, including the definition of absolute value and case analysis, suitable for students in Grades 10-12.

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