equação diferencial parcial dada: ∂ 2 𝑢 ∂ 𝑟 2 + 1 𝑟 ∂ 𝑢 ∂ 𝑟 + 1 𝑟 2 ∂ 2 𝑢 ∂ 𝜃 2 = 0 , 0 < 𝑟 < 𝑐 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2 𝜋 , ∂r 2 ∂ 2 u ​ + r 1 ​ ∂r ∂u ​ + r 2 1 ​ ∂θ 2 ∂ 2 u ​ =0,0<r<c,0≤θ≤2π, com a condição de contorno: 𝑑 𝑢 𝑑 𝑟 ∣ 𝑟 = 𝑐 = 1 + 2 sin ⁡ 𝜃 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2 𝜋 . dr du ​ ​ r=c ​ =1+2sinθ,0≤θ≤2π. Mostre explicitamente qual é a expressão u(r,θ) detalhadamente, somente esse passo deve ser detalhado. Inclusive as constantes da solução geral devem ser encontradas fornecendo explicitamente a solução particular para o problema dado com a condição de contorno de Neuman que foi fornecida

Para resolver a equação diferencial parcial (EDP) fornecida, vamos seguir o método da separação de variáveis.

### Equação diferencial parcial dada:
\[
\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = 0, \quad 0 < r < c, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi.
\]

### Condição de contorno:
\[
\left. \frac{d u}{d r} \right|_{r = c} = 1 + 2\sin \theta, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi.
\]

Vamos supor que a solução \( u(r, \theta) \) pode ser escrita como um produto de funções separadas de \( r \) e \( \theta \):
\[
u(r, \theta) = R(r)\Theta(\theta).
\]

Substituindo essa forma na EDP:
\[
\frac{\Theta(\theta)}{R(r)} \left( \frac{d^2 R(r)}{dr^2} + \frac{1}{r} \frac{dR(r)}{dr} \right) + \frac{R(r)}{r^2 \Theta(\theta)} \frac{d^2 \Theta(\theta)}{d\theta^2} = 0.
\]

Multiplicando ambos os lados por \( r^2 \) e dividindo por \( R(r)\Theta(\theta) \), obtemos:
\[
r^2 \frac{1}{R(r)} \left( \frac{d^2 R(r)}{dr^2} + \frac{1}{r} \frac{dR(r)}{dr} \right) + \frac{1}{\Theta(\theta)} \frac{d^2 \Theta(\theta)}{d\theta^2} = 0.
\]

Como a equação depende separadamente de \( r \) e \( \theta \), devemos ter:
\[
r^2 \frac{1}{R(r)} \left( \frac{d^2 R(r)}{dr^2} + \frac{1}{r} \frac{dR(r)}{dr} \right) = -\lambda, \quad \frac{1}{\Theta(\theta)} \frac{d^2 \Theta(\theta)}{d\theta^2} = \lambda,
\]
onde \( \lambda \) é uma constante de separação.

### Equação para \( \Theta(\theta) \):
\[
\frac{d^2 \Theta(\theta)}{d\theta^2} + \lambda \Theta(\theta) = 0.
\]
A solução geral para essa equação é:
\[
\Theta(\theta) = A \cos(\sqrt{\lambda}\theta) + B \sin(\sqrt{\lambda}\theta).
\]
Como \( \Theta(\theta) \) deve ser periódica com período \( 2\pi \), \( \sqrt{\lambda} \) deve ser um inteiro \( n \). Assim, temos:
\[
\lambda = n^2 \quad \text{e} \quad \Theta(\theta) = A_n \cos(n\theta) + B_n \sin(n\theta).
\]

### Equação para \( R(r) \):
\[
r^2 \frac{d^2 R(r)}{dr^2} + r \frac{dR(r)}{dr} - n^2 R(r) = 0.
\]
Essa é uma equação de Cauchy-Euler, cuja solução geral é:
\[
R_n(r) = C_n r^n + D_n r^{-n}.
\]

### Solução geral para \( u(r, \theta) \):
\[
u(r, \theta) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( C_n r^n + D_n r^{-n} \right) \left( A_n \cos(n\theta) + B_n \sin(n\theta) \right).
\]
No entanto, para \( n=0 \), a solução \( \Theta_0(\theta) = \text{constante} \), então \( R_0(r) = C_0 + D_0 \ln(r) \).

Portanto, a solução completa é:
\[
u(r, \theta) = C_0 + D_0 \ln(r) + \sum_{n=1}^{\infty} \left( C_n r^n + D_n r^{-n} \right) \left( A_n \cos(n\theta) + B_n \sin(n\theta) \right).
\]

### Aplicando a condição de contorno:
\[
\left. \frac{d u}{d r} \right|_{r = c} = \frac{D_0}{c} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ nC_n c^{n-1} - \frac{nD_n}{c^{n+1}} \right] \left( A_n \cos(n\theta) + B_n \sin(n\theta) \right) = 1 + 2\sin\theta.
\]

Comparando os coeficientes:
1. Para \( n = 0 \), \( \frac{D_0}{c} = 1 \), logo \( D_0 = c \).
2. Para \( n = 1 \), \( C_1 \cdot 1 = 0 \) e \( B_1 \cdot (-\frac{1}{c^2}) = 2 \), logo \( D_1 = -2c^3 \), e \( A_1 = 0 \).
3. Para \( n \geq 2 \), todos os outros coeficientes \( C_n \) e \( D_n \) são zero.

### Solução particular:
\[
u(r, \theta) = C_0 + c \ln(r) - 2c^3 \frac{r^{-1}}{c^2} \sin(\theta).
\]
Substituindo \( C_0 \), que é uma constante associada à solução homogênea, obtemos:
\[
u(r, \theta) = \ln(r) + 2\frac{c^2}{r}\sin\theta.
\]

Este é o resultado explícito de \( u(r, \theta) \) para o problema dado.

### Questões Relacionadas:

1. Como o método da separação de variáveis pode ser aplicado em outras EDPs de forma semelhante?
2. Como se derivam as soluções das equações de Cauchy-Euler em diferentes contextos?
3. Como as condições de contorno influenciam a determinação das constantes na solução de EDPs?
4. Qual é a interpretação física da condição de contorno de Neumann?
5. Como seria a solução se a condição de contorno fosse \( u(c, \theta) = f(\theta) \) ao invés de uma condição de Neumann?

**Dica:** Para problemas com condições de contorno em diferentes intervalos, explore as soluções particulares e como elas devem ser ajustadas para atender aos limites impostos.

Explore the detailed solution of a partial differential equation (PDE) involving separation of variables and Cauchy-Euler equations. Includes step-by-step derivation of the particular solution under Neumann boundary conditions. Suitable for advanced undergraduate students and researchers in mathematics.

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