Cinco niñas que descubrieron que pesándose de a dos e intercambiándose de a una por vez, podían conocer el peso de todas gastando una sola moneda, encontraron que de a pares pesaban 129 libras. 125. 124, 123, 122, 121, 120, 118, 116 y 114. Hay que descubrir ahora el peso de cada una, por separado.

Para resolver el problema, necesitamos determinar los pesos individuales de las cinco niñas \(a, b, c, d, e\) dadas las combinaciones de pesos en pares. Utilizaremos las siguientes ecuaciones:

\[ a + b = 129 \]
\[ a + c = 125 \]
\[ a + d = 124 \]
\[ a + e = 123 \]
\[ b + c = 122 \]
\[ b + d = 121 \]
\[ b + e = 120 \]
\[ c + d = 118 \]
\[ c + e = 116 \]
\[ d + e = 114 \]

### Paso 1: Sumar todas las ecuaciones

Sumamos todas las ecuaciones:

\[ (a + b) + (a + c) + (a + d) + (a + e) + (b + c) + (b + d) + (b + e) + (c + d) + (c + e) + (d + e) \]

\[ = 129 + 125 + 124 + 123 + 122 + 121 + 120 + 118 + 116 + 114 \]

### Paso 2: Simplificar la suma

Simplificamos la suma:

\[ 4(a + b + c + d + e) \]

### Paso 3: Sumar los valores dados

Sumamos los valores dados:

\[ 129 + 125 + 124 + 123 + 122 + 121 + 120 + 118 + 116 + 114 = 1212 \]

### Paso 4: Igualar la suma y resolver para \(a + b + c + d + e\)

\[ 4(a + b + c + d + e) = 1212 \]

Dividimos entre 4:

\[ a + b + c + d + e = \frac{1212}{4} = 303 \]

### Paso 5: Encontrar los pesos individuales

Usamos el valor de \(a + b + c + d + e = 303\) para encontrar los pesos individuales. Restamos cada suma de pares del total \(303\) para encontrar los otros tres valores:

\[ c + d + e = 303 - (a + b) = 303 - 129 = 174 \]
\[ b + d + e = 303 - (a + c) = 303 - 125 = 178 \]
\[ b + c + e = 303 - (a + d) = 303 - 124 = 179 \]
\[ b + c + d = 303 - (a + e) = 303 - 123 = 180 \]
\[ a + d + e = 303 - (b + c) = 303 - 122 = 181 \]
\[ a + c + e = 303 - (b + d) = 303 - 121 = 182 \]
\[ a + c + d = 303 - (b + e) = 303 - 120 = 183 \]
\[ a + b + e = 303 - (c + d) = 303 - 118 = 185 \]
\[ a + b + d = 303 - (c + e) = 303 - 116 = 187 \]
\[ a + b + c = 303 - (d + e) = 303 - 114 = 189 \]

### Paso 6: Resolver el sistema de ecuaciones

Tenemos el sistema de ecuaciones:

\[ a + b = 129 \]
\[ a + c = 125 \]
\[ a + d = 124 \]
\[ a + e = 123 \]
\[ b + c = 122 \]
\[ b + d = 121 \]
\[ b + e = 120 \]
\[ c + d = 118 \]
\[ c + e = 116 \]
\[ d + e = 114 \]

Vamos a resolverlo paso a paso:

1. Restamos \(a + c\) de \(a + b\):

\[ a + b - (a + c) = 129 - 125 \]
\[ b - c = 4 \quad \Rightarrow \quad b = c + 4 \]

2. Restamos \(a + d\) de \(a + b\):

\[ a + b - (a + d) = 129 - 124 \]
\[ b - d = 5 \quad \Rightarrow \quad b = d + 5 \]

3. Restamos \(a + e\) de \(a + b\):

\[ a + b - (a + e) = 129 - 123 \]
\[ b - e = 6 \quad \Rightarrow \quad b = e + 6 \]

4. Restamos \(b + c\) de \(b + d\):

\[ b + c - (b + d) = 122 - 121 \]
\[ c - d = 1 \quad \Rightarrow \quad c = d + 1 \]

5. Restamos \(b + d\) de \(b + e\):

\[ b + d - (b + e) = 121 - 120 \]
\[ d - e = 1 \quad \Rightarrow \quad d = e + 1 \]

Ahora sabemos que \( b = c + 4 \), \( c = d + 1 \), \( d = e + 1 \).

Usando \( c = d + 1 \) y \( d = e + 1 \), podemos sustituir \( c \) y \( d \):

\[ c = e + 2 \]
\[ d = e + 1 \]
\[ b = e + 6 \]

Sabemos que \(a + e = 123\), entonces:

\[ a = 123 - e \]

Finalmente, sabemos que \( a + b + c + d + e = 303 \):

\[ (123 - e) + (e + 6) + (e + 2) + (e + 1) + e = 303 \]
\[ 123 + 6 + 2 + 1 + 3e = 303 \]
\[ 132 + 3e = 303 \]
\[ 3e = 171 \]
\[ e = 57 \]

Ahora podemos encontrar los otros valores:

\[ d = e + 1 = 57 + 1 = 58 \]
\[ c = e + 2 = 57 + 2 = 59 \]
\[ b = e + 6 = 57 + 6 = 63 \]
\[ a = 123 - e = 123 - 57 = 66 \]

### Respuesta Final

Los pesos de las niñas son:

- \(a = 66\) libras
- \(b = 63\) libras
- \(c = 59\) libras
- \(d = 58\) libras
- \(e = 57\) libras

¿Te gustaría obtener más detalles o tienes alguna pregunta sobre este proceso?

1. ¿Cómo resolver un problema similar con diferentes datos?
2. ¿Qué son las técnicas de eliminación y sustitución en álgebra?
3. ¿Cómo se pueden verificar los resultados de las ecuaciones?
4. ¿Qué otros métodos se pueden usar para resolver sistemas de ecuaciones?
5. ¿Ejemplos de sistemas de ecuaciones en diferentes contextos?

**Tip:** Cuando resuelvas sistemas de ecuaciones, verificar tus resultados sustituyendo las soluciones de vuelta en las ecuaciones originales puede ayudarte a confirmar la precisión.

Discover the solution to a problem where five girls determine each other's weights by weighing in pairs, using only one coin. Includes detailed step-by-step calculations and solutions for determining individual weights. Suitable for high school students studying systems of linear equations and methods of elimination and substitution.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation