¿Es cierto? Al resolver la ecuación Diferencial, ye^{x+y}dy=dx se obtiene: e^yy-e^y+e^-1 = C

Para resolver la ecuación diferencial \( y e^{x+y} \, dy = dx \), sigamos los pasos necesarios para verificar si la solución propuesta es correcta.

### Paso 1: Simplificación de la ecuación
Dividamos ambos lados de la ecuación por \( e^{x+y} \) para separar las variables:
\[
y \, dy = \frac{dx}{e^{x+y}}.
\]
Podemos reescribir el lado derecho:
\[
\frac{dx}{e^{x+y}} = e^{-x-y} \, dx = e^{-x} \cdot e^{-y} \, dx.
\]
Entonces la ecuación se convierte en:
\[
y \, dy = e^{-x} \cdot e^{-y} \, dx.
\]

### Paso 2: Separación de variables
Reorganizamos la ecuación para separar las variables \( x \) y \( y \):
\[
\frac{y \, dy}{e^{-y}} = e^{-x} \, dx.
\]
Simplificando el lado izquierdo, obtenemos:
\[
y e^y \, dy = e^{-x} \, dx.
\]

### Paso 3: Integración de ambos lados
Integramos ambos lados de la ecuación:
\[
\int y e^y \, dy = \int e^{-x} \, dx.
\]

El lado izquierdo requiere una integración por partes. Tomemos \( u = y \) y \( dv = e^y \, dy \). Entonces \( du = dy \) y \( v = e^y \). Por lo tanto:
\[
\int y e^y \, dy = y e^y - \int e^y \, dy = y e^y - e^y.
\]

El lado derecho es una integral sencilla:
\[
\int e^{-x} \, dx = -e^{-x}.
\]

Por lo tanto, la ecuación después de integrar ambos lados es:
\[
y e^y - e^y = -e^{-x} + C,
\]
donde \( C \) es la constante de integración.

### Paso 4: Simplificación de la solución
Podemos reorganizar la ecuación para obtener:
\[
y e^y - e^y + e^{-x} = C.
\]
Multiplicando por \( e^x \) ambos lados para eliminar la exponencial negativa:
\[
e^x (y e^y - e^y) + 1 = C e^x.
\]

Finalmente, podemos ver que esta ecuación no coincide exactamente con la solución dada en tu pregunta, que es:
\[
e^y y - e^y + e^{-1} = C.
\]

### Conclusión
La solución que obtuvimos no coincide con la que mencionas. La forma de la solución correcta para la ecuación diferencial es diferente. Es probable que haya un error en la expresión de la solución propuesta. La forma correcta después de simplificar y organizar es:
\[
y e^y - e^y + e^{-x} = C.
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se realiza la integración por partes?
2. ¿Qué otros métodos existen para resolver ecuaciones diferenciales de variables separables?
3. ¿Cómo se verifica una solución a una ecuación diferencial?
4. ¿Cuál es el significado geométrico de la solución a una ecuación diferencial?
5. ¿Cómo se interpreta la constante de integración en el contexto de soluciones a ecuaciones diferenciales?
6. ¿Qué tipos de ecuaciones diferenciales se pueden resolver mediante separación de variables?
7. ¿Qué ocurre si una ecuación diferencial no es separable?
8. ¿Cómo afecta una condición inicial la solución de una ecuación diferencial?

### Tip:
Al resolver ecuaciones diferenciales, es útil verificar la solución derivando y sustituyendo en la ecuación original.

Explore the step-by-step solution to the differential equation y e^{x+y} dy = dx. Learn how to apply separation of variables method and integrate both sides to find the general solution. Suitable for undergraduate students and anyone studying differential equations.

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