a) Seleccione todas aquellas funciones que satisfacen a la ecuación diferencial ordinaria y = x * y' + 2(y')^2

1. y = (c*x) + (2c)^2

2 y = (c*x)^2 + (4c)^2

3. y = - (x^2)/8

4 y = c_{1}*sin x + c_{2}*cos x


Para determinar cuáles de las funciones propuestas satisfacen la ecuación diferencial \( y = x \cdot y' + 2(y')^2 \), debemos seguir el siguiente procedimiento:

### Paso 1: Derivar las funciones candidatas

Vamos a calcular la derivada de cada una de las funciones y luego sustituirlas en la ecuación diferencial \( y = x \cdot y' + 2(y')^2 \) para verificar si cumplen.

#### 1. \( y = (c \cdot x) + (2c)^2 \)
- Derivada: 
  \[
  y' = c
  \]
- Sustituyendo en la ecuación diferencial:
  \[
  y = x \cdot y' + 2(y')^2 \implies (c \cdot x) + (2c)^2 = x \cdot c + 2(c)^2
  \]
  Comparando ambos lados:
  \[
  (c \cdot x) + 4c^2 = (c \cdot x) + 2c^2
  \]
  Esto no es cierto, por lo que **la función no satisface la ecuación diferencial**.

#### 2. \( y = (c \cdot x)^2 + (4c)^2 \)
- Derivada:
  \[
  y' = 2c^2 x
  \]
- Sustituyendo en la ecuación diferencial:
  \[
  y = x \cdot y' + 2(y')^2 \implies (c \cdot x)^2 + (4c)^2 = x \cdot (2c^2 x) + 2(2c^2 x)^2
  \]
  Calculando ambos lados:
  - Lado izquierdo: \( y = c^2 x^2 + 16c^2 \)
  - Lado derecho: \( x \cdot (2c^2 x) + 2(4c^4 x^2) = 2c^2 x^2 + 8c^4 x^2 \)
  
  Como ambos lados no coinciden, **esta función no satisface la ecuación**.

#### 3. \( y = - \frac{x^2}{8} \)
- Derivada:
  \[
  y' = - \frac{x}{4}
  \]
- Sustituyendo en la ecuación diferencial:
  \[
  y = x \cdot y' + 2(y')^2 \implies -\frac{x^2}{8} = x \cdot \left(- \frac{x}{4}\right) + 2\left(- \frac{x}{4}\right)^2
  \]
  Calculando ambos lados:
  - Lado izquierdo: \( y = - \frac{x^2}{8} \)
  - Lado derecho: \( - \frac{x^2}{4} + 2 \cdot \frac{x^2}{16} = - \frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{8} = - \frac{x^2}{8} \)
  
  Ambos lados coinciden, por lo tanto, **esta función satisface la ecuación**.

#### 4. \( y = c_1 \sin(x) + c_2 \cos(x) \)
- Derivada:
  \[
  y' = c_1 \cos(x) - c_2 \sin(x)
  \]
- Sustituyendo en la ecuación diferencial:
  \[
  y = x \cdot y' + 2(y')^2 \implies c_1 \sin(x) + c_2 \cos(x) = x(c_1 \cos(x) - c_2 \sin(x)) + 2(c_1 \cos(x) - c_2 \sin(x))^2
  \]
  Este tipo de solución no se ajusta fácilmente a la estructura de la ecuación diferencial dada, y al hacer las expansiones trigonométricas no satisface la igualdad.

### Conclusión:

La única función que satisface la ecuación diferencial es:
\[
\boxed{3. \, y = - \frac{x^2}{8}}
\]

---

¿Te gustaría que te diera más detalles de los cálculos? 

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Qué métodos generales se usan para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden?
2. ¿Cómo se pueden clasificar las ecuaciones diferenciales?
3. ¿Cuál es el rol de las condiciones iniciales en la resolución de ecuaciones diferenciales?
4. ¿Cómo se interpretan las soluciones de ecuaciones diferenciales en el contexto físico?
5. ¿Existen otras formas de verificar la solución de una ecuación diferencial?

**Tip**: Las ecuaciones diferenciales de primer orden suelen ser más sencillas de resolver si puedes reordenar la ecuación en forma separable o lineal.

Seleccione todas aquellas funciones que satisfacen a la ecuación diferencial ordinaria y = x * y' + 2(y')^2

Explora la solución paso a paso para determinar qué funciones satisfacen la ecuación diferencial y = x * y' + 2(y')^2. Este problema involucra derivadas y la verificación de soluciones, adecuado para estudiantes de bachillerato en los grados 10 a 12.

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