Dados los conjuntos S = {x ∣ x ∈ N, 4<x<14} y T = {x ∣ x=2n−1, n ∈ N, 1<n<8}, N conjunto de los números naturales
a.
Determine por extensión cada conjunto
b.
Encuentre la relación R = {(x, y) ∈ S x T | x = 2y-3}
c.
Muestre el dominio, codominio y rango de la relación.

Para resolver el problema, vamos paso a paso.

### a. Determinar por extensión cada conjunto

#### Conjunto \( S \):
Dado el conjunto \( S = \{x \mid x \in \mathbb{N}, 4 < x < 14\} \), esto significa que estamos buscando los números naturales entre 4 y 14, excluyendo los extremos.

Por lo tanto, \( S \) es:

\[
S = \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}
\]

#### Conjunto \( T \):
Dado el conjunto \( T = \{x \mid x = 2n - 1, n \in \mathbb{N}, 1 < n < 8\} \), primero determinamos los valores de \( n \) que cumplen la condición \( 1 < n < 8 \), es decir, \( n = 2, 3, 4, 5, 6, 7 \).

Ahora calculamos \( x = 2n - 1 \) para estos valores de \( n \):

- Para \( n = 2 \), \( x = 2(2) - 1 = 3 \)
- Para \( n = 3 \), \( x = 2(3) - 1 = 5 \)
- Para \( n = 4 \), \( x = 2(4) - 1 = 7 \)
- Para \( n = 5 \), \( x = 2(5) - 1 = 9 \)
- Para \( n = 6 \), \( x = 2(6) - 1 = 11 \)
- Para \( n = 7 \), \( x = 2(7) - 1 = 13 \)

Por lo tanto, \( T \) es:

\[
T = \{3, 5, 7, 9, 11, 13\}
\]

### b. Relación \( R \)

La relación \( R = \{(x, y) \in S \times T \mid x = 2y - 3\} \) es el conjunto de pares ordenados \( (x, y) \) que cumplen la ecuación \( x = 2y - 3 \), donde \( x \in S \) y \( y \in T \).

Tomamos cada \( y \in T \) y calculamos \( x = 2y - 3 \):

- Para \( y = 3 \), \( x = 2(3) - 3 = 6 \)
- Para \( y = 5 \), \( x = 2(5) - 3 = 7 \)
- Para \( y = 7 \), \( x = 2(7) - 3 = 11 \)
- Para \( y = 9 \), \( x = 2(9) - 3 = 15 \) (no está en \( S \), lo descartamos)
- Para \( y = 11 \), \( x = 2(11) - 3 = 19 \) (no está en \( S \), lo descartamos)
- Para \( y = 13 \), \( x = 2(13) - 3 = 23 \) (no está en \( S \), lo descartamos)

Por lo tanto, la relación \( R \) es:

\[
R = \{(6, 3), (7, 5), (11, 7)\}
\]

### c. Dominio, codominio y rango de la relación

- **Dominio**: El dominio de la relación \( R \) es el conjunto de los valores de \( x \) en los pares de la relación, es decir, \( \{6, 7, 11\} \).
- **Codominio**: El codominio de la relación es el conjunto \( T = \{3, 5, 7, 9, 11, 13\} \).
- **Rango**: El rango de la relación \( R \) es el conjunto de los valores de \( y \) en los pares de la relación, es decir, \( \{3, 5, 7\} \).

---

¿Te gustaría que amplíe alguno de estos pasos o tienes alguna pregunta adicional? A continuación te propongo algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se representa gráficamente una relación entre conjuntos?
2. ¿Qué diferencia hay entre dominio y rango en una función y en una relación?
3. ¿Cómo se puede determinar si una relación es una función?
4. ¿Qué sucede si el conjunto \( S \) o \( T \) es infinito?
5. ¿Cómo se describen las relaciones inversas?

**Tip**: En una relación, el rango es el conjunto de valores a los que "llegan" los elementos del dominio, mientras que el codominio incluye todos los posibles resultados, aunque no todos se alcancen.

Dados los conjuntos S = {x ∣ x ∈ N, 4<x<14} y T = {x ∣ x=2n−1, n ∈ N, 1<n<8}, N conjunto de los números naturales a. Determine por extensión cada conjunto b. Encuentre la relación R = {(x, y) ∈ S x T | x = 2y-3} c. Muestre el dominio, codominio y rango de la relación.

Aprende cómo determinar por extensión los conjuntos S y T dados en términos de números naturales, cómo encontrar la relación R = {(x, y) ∈ S x T | x = 2y-3}, y cómo mostrar el dominio, codominio y rango de la relación. Esta solución incluye los conceptos clave de teoría de conjuntos y relaciones, adecuada para estudiantes de secundaria.

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