https://r2.erweima.ai/mathbot/image/17253153129253kjdrmt2.jpg

Resolver estas ecuaciones lineales con el método de sustitución igualación y eliminación con fracciones

Las ecuaciones que has subido son:

\[
\frac{1}{2}x - y = 4
\]
\[
3x + 2y = 5
\]

Vamos a resolver este sistema de ecuaciones por los métodos de **sustitución, igualación y eliminación**.

### Método de Sustitución

1. **Despejar una variable en una de las ecuaciones:**
   Tomemos la primera ecuación y despejemos \( y \):

   \[
   \frac{1}{2}x - y = 4
   \]

   Sumamos \( y \) a ambos lados:

   \[
   \frac{1}{2}x = y + 4
   \]

   Restamos 4 en ambos lados para despejar \( y \):

   \[
   y = \frac{1}{2}x - 4
   \]

2. **Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación:**

   Sustituyamos \( y = \frac{1}{2}x - 4 \) en la segunda ecuación:

   \[
   3x + 2\left(\frac{1}{2}x - 4\right) = 5
   \]

3. **Resolver la ecuación resultante:**

   \[
   3x + x - 8 = 5
   \]

   Simplificando:

   \[
   4x - 8 = 5
   \]

   Sumamos 8 en ambos lados:

   \[
   4x = 13
   \]

   Dividimos por 4:

   \[
   x = \frac{13}{4}
   \]

4. **Sustituir el valor de \( x \) en la ecuación despejada:**

   \[
   y = \frac{1}{2}\left(\frac{13}{4}\right) - 4
   \]

   Simplificando:

   \[
   y = \frac{13}{8} - 4 = \frac{13}{8} - \frac{32}{8} = \frac{-19}{8}
   \]

   Entonces, la solución es \( x = \frac{13}{4} \) y \( y = \frac{-19}{8} \).

### Método de Igualación

1. **Despejar la misma variable en ambas ecuaciones:**
   
   De la primera ecuación:

   \[
   y = \frac{1}{2}x - 4
   \]

   De la segunda ecuación, despejamos \( y \):

   \[
   y = \frac{5 - 3x}{2}
   \]

2. **Igualar las dos expresiones:**

   \[
   \frac{1}{2}x - 4 = \frac{5 - 3x}{2}
   \]

3. **Resolver para \( x \):**

   Multiplicamos ambos lados por 2 para eliminar las fracciones:

   \[
   x - 8 = 5 - 3x
   \]

   Sumamos \( 3x \) a ambos lados:

   \[
   4x - 8 = 5
   \]

   Sumamos 8 en ambos lados:

   \[
   4x = 13
   \]

   Dividimos por 4:

   \[
   x = \frac{13}{4}
   \]

4. **Sustituir en una de las ecuaciones:**

   \[
   y = \frac{1}{2}\left(\frac{13}{4}\right) - 4 = \frac{-19}{8}
   \]

   La solución es \( x = \frac{13}{4} \) y \( y = \frac{-19}{8} \).

### Método de Eliminación

1. **Multiplicar las ecuaciones para igualar los coeficientes:**

   Multiplicamos la primera ecuación por 2 para que el coeficiente de \( y \) sea el mismo en ambas ecuaciones:

   \[
   x - 2y = 8
   \]
   \[
   3x + 2y = 5
   \]

2. **Sumar o restar las ecuaciones:**

   Sumamos las ecuaciones para eliminar \( y \):

   \[
   (x - 2y) + (3x + 2y) = 8 + 5
   \]

   Simplificando:

   \[
   4x = 13
   \]

   Dividimos por 4:

   \[
   x = \frac{13}{4}
   \]

3. **Sustituir \( x \) en una de las ecuaciones:**

   Usamos la primera ecuación:

   \[
   \frac{1}{2}\left(\frac{13}{4}\right) - y = 4
   \]

   Resolviendo:

   \[
   y = \frac{-19}{8}
   \]

   La solución es \( x = \frac{13}{4} \) y \( y = \frac{-19}{8} \).

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí hay algunas preguntas relacionadas para que practiques:

1. ¿Cómo cambiarían los resultados si la primera ecuación fuera \(\frac{1}{3}x - y = 4\)?
2. ¿Qué pasaría si en lugar de sumar las ecuaciones en el método de eliminación, las restamos?
3. ¿Cómo resolverías el sistema si en la segunda ecuación \(2y\) estuviera multiplicado por un factor distinto?
4. ¿Qué otros métodos existen para resolver sistemas de ecuaciones lineales?
5. ¿Cómo puedes verificar si la solución obtenida es correcta?

**Tip:** Siempre verifica tu solución sustituyendo los valores de \(x\) y \(y\) en las ecuaciones originales para asegurarte de que cumplen ambas ecuaciones.

Aprende a resolver ecuaciones lineales utilizando métodos de sustitución, igualación y eliminación con fracciones. Este problema cubre conceptos clave como ecuaciones lineales, métodos algebraicos y fracciones. Adecuado para estudiantes de los grados 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation