Resuelve (fog)(x) de las siguientes funciones: f(x)=x^2+2x+6, g(x)=x+4

Pregunta 11Respuesta

a.
-x^2-6x+5

b.
x^2-2x+10

c.
x^2+10x+30

d.
x^2+5x+10

e.
x^2+2x+3

f.
Ninguna es correcta

Para resolver \((f \circ g)(x)\), primero necesitamos encontrar la composición de las funciones \(f(x)\) y \(g(x)\). 

Dado:
- \(f(x) = x^2 + 2x + 6\)
- \(g(x) = x + 4\)

La composición \((f \circ g)(x)\) se define como \(f(g(x))\). Esto significa que reemplazamos \(x\) en \(f(x)\) por \(g(x)\).

Primero, calculemos \(g(x)\):
\[
g(x) = x + 4
\]

Ahora, sustituimos \(g(x)\) en \(f(x)\):

\[
f(g(x)) = f(x + 4)
\]

Sustituyendo \(x + 4\) en \(f(x)\):

\[
f(x + 4) = (x + 4)^2 + 2(x + 4) + 6
\]

Ahora, expandimos y simplificamos la expresión:

1. Expande \((x + 4)^2\):
   \[
   (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16
   \]

2. Multiplica \(2(x + 4)\):
   \[
   2(x + 4) = 2x + 8
   \]

3. Sustituyendo estas en la función:
   \[
   f(x + 4) = x^2 + 8x + 16 + 2x + 8 + 6
   \]

4. Simplifica los términos semejantes:
   \[
   f(x + 4) = x^2 + 10x + 30
   \]

Por lo tanto, \((f \circ g)(x) = x^2 + 10x + 30\).

### Respuesta

La opción correcta es:

c. \(x^2 + 10x + 30\)

### ¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

---

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula \((g \circ f)(x)\) para las mismas funciones?
2. ¿Qué ocurre si se cambia la función \(f(x)\) por otra, por ejemplo, \(f(x) = 2x + 3\)?
3. ¿Cómo se verifica si una composición de funciones es biyectiva?
4. ¿Qué significa la composición de funciones en términos de mapeo de conjuntos?
5. ¿Cómo afecta la composición de funciones a la derivada de funciones en cálculo?

### Tip:

Siempre revisa el orden en que se aplican las funciones en la composición, ya que \((f \circ g)(x)\) generalmente no es igual a \((g \circ f)(x)\).

Learn how to resolve function composition f(g(x)) using the functions f(x) = x^2 + 2x + 6 and g(x) = x + 4. This problem involves quadratic expansion and function composition theory. Suitable for Grades 10-12 students.

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