Dues atletes fan la cursa dels 800 m llisos. L’atleta amb el dorsal 1 corre els últims 400 m a una
velocitat constant de 12 m/s, mentre que l’atleta amb el dorsal 2 passa 2 s més tard pel punt dels 400
m a una velocitat de 10 m/s, fa l’últim tram de la cursa amb MRUA i l’acaba a una velocitat de 20
m/s.
d) En quin punt passa una atleta davant de l’altra?
e) Qui guanya la cursa?

Anem a resoldre les dues qüestions plantejades pas a pas.

### Dades:

1. L'atleta 1 corre els últims 400 m a una velocitat constant de 12 m/s.
2. L'atleta 2 passa 2 segons més tard pel punt dels 400 m a una velocitat de 10 m/s i fa l'últim tram de la cursa amb un **MRUA** (Moviment Rectilini Uniformement Accelerat) i acaba amb una velocitat de 20 m/s.

---

### **(d) En quin punt passa una atleta davant de l'altra?**

#### **Atleta 1:**
L'atleta 1 fa els últims 400 metres a velocitat constant de 12 m/s.

El temps que triga l'atleta 1 a recórrer aquests 400 metres és:
\[
t_1 = \frac{400}{12} = 33.33\ s
\]

#### **Atleta 2:**
L'atleta 2 es mou amb MRUA, partint d'una velocitat inicial de 10 m/s i finalitzant amb 20 m/s.

L'equació de la velocitat en el moviment amb acceleració constant és:
\[
v_f = v_i + a t
\]
On \( v_f = 20\ \text{m/s} \), \( v_i = 10\ \text{m/s} \), i \( t \) és el temps que triga a fer l'últim tram. A partir d'aquí, necessitem calcular l'acceleració \(a\).

Sabem que la distància recorreguda per l'atleta 2 és també 400 m. La fórmula per la distància en moviment uniformement accelerat és:
\[
x = v_i t + \frac{1}{2} a t^2
\]

Tindrem dues equacions:
1. \( 400 = 10t + \frac{1}{2} a t^2 \)
2. \( 20 = 10 + a t \)

Resolent aquestes equacions, podrem determinar el punt on l'atleta 2 sobrepassa l'atleta 1.

---

### **(e) Qui guanya la cursa?**

Per determinar qui guanya la cursa, compararem el temps total de cada atleta per completar els 800 metres.

1. **Temps total de l'atleta 1**:
   - Els primers 400 metres no ens proporcionen informació, però els segons 400 metres els fa en 33.33 segons.

2. **Temps total de l'atleta 2**:
   - Haurem de calcular el temps total per fer els últims 400 metres amb l'equació del MRUA, tenint en compte que comença 2 segons després.

---

Deixa'm resoldre aquestes equacions per calcular els punts exactes i determinar el guanyador.La solució per l'atleta 2 és que triga \( t_2 = 26.67\ \text{segons} \) a completar els últims 400 metres, amb una acceleració constant de \( a = 0.375\ \text{m/s}^2 \).

---

### **(d) En quin punt passa una atleta davant de l'altra?**

L'atleta 1 manté una velocitat constant de 12 m/s i triga 33.33 segons a recórrer els 400 metres finals. L'atleta 2 triga menys, 26.67 segons, però comença 2 segons més tard. Per saber en quin punt l'atleta 2 passa davant de l'atleta 1, cal comparar les distàncies que recorren durant aquest temps.

Suposem que al temps \( t \), a partir dels 2 segons de retard de l'atleta 2, recorren la mateixa distància. L'atleta 1 ha recorregut \( x_1 = 12 \cdot t \) metres i l'atleta 2 ha recorregut \( x_2 = 10t + \frac{1}{2} \cdot 0.375 \cdot t^2 \). Hem de trobar el moment en què \( x_1 = x_2 \).

Resolem aquesta equació.

---

### **(e) Qui guanya la cursa?**

Ara podem veure clarament que, com que l'atleta 2 triga menys a recórrer els 400 metres, tot i començar més tard, és probable que guanyi la cursa. Però caldrà calcular el temps total per confirmar-ho.

Deixa'm calcular el punt exacte on es creuen.Les dues atletes es creuen després de 10,67 segons des que l'atleta 2 comença a córrer, a una distància de:

\[
x_1 = 12 \times 10.67 = 128,0 \, \text{metres}
\]

Així doncs, l'atleta 2 sobrepassa l'atleta 1 quan falten 272 metres per acabar la cursa.

---

### **(e) Qui guanya la cursa?**

- L'atleta 1 triga 33,33 segons en completar els últims 400 metres.
- L'atleta 2 triga només 26,67 segons a fer aquest tram.

Tot i començar 2 segons després, l'atleta 2 triga menys temps en completar la cursa i, per tant, **l'atleta 2 guanya la cursa**.

---

Tens alguna pregunta o vols més detalls? Aquí tens algunes preguntes relacionades:

1. Com es calcula l'acceleració en un moviment amb MRUA?
2. Quina és la fórmula per la distància en moviment rectilini uniformement accelerat?
3. Com afecta la velocitat constant en la distància recorreguda?
4. Per què l'atleta 2 passa davant de l'atleta 1 malgrat començar després?
5. Com podem calcular el punt on es creuen dues trajectòries?

**Tip**: Quan comparis moviments amb velocitats constants i accelerades, és útil calcular el temps i la distància recorreguda per separat per veure qui és més ràpid en trams diferents.

Dues atletes fan la cursa dels 800 m llisos. L’atleta amb el dorsal 1 corre els últims 400 m a una velocitat constant de 12 m/s, mentre que l’atleta amb el dorsal 2 passa 2 s més tard pel punt dels 400 m a una velocitat de 10 m/s, fa l’últim tram de la cursa amb MRUA i l’acaba a una velocitat de 20 m/s. d) En quin punt passa una atleta davant de l’altra? e) Qui guanya la cursa?

Explore the solution to a race problem involving two athletes running an 800-meter race. Learn how to determine the point where one athlete overtakes the other and who wins, using concepts like uniform motion and uniformly accelerated motion. Suitable for students in Grades 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation