Una serie de 5 ejercicios de funciones de tres variables con el siguiente contenido: 
	La elaboración manual de la superficie cuadrática, sus curvas de nivel y sus proyecciones en los planos XY, XZ y YZ.
	El dominio y rango de la función.
	La comprobación gráfica realizada con software. 


Aquí tienes una serie de 5 ejercicios relacionados con funciones de tres variables que cubren los temas solicitados: elaboración de la superficie cuadrática, curvas de nivel, proyecciones en los planos \(XY\), \(XZ\), \(YZ\), dominio y rango, y comprobación gráfica. Los ejercicios propuestos requieren tanto análisis manual como la verificación gráfica con software (como GeoGebra o MATLAB).

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### **Ejercicio 1:**
Función:  
\[
f(x, y, z) = x^2 + y^2 - z
\]

1. **Superficie cuadrática:**  
   Determina la ecuación de la superficie cuadrática.  
   \(x^2 + y^2 = z\), que es un paraboloide circular.
   
2. **Curvas de nivel:**  
   Para \(z = k\), obtén las curvas de nivel \(x^2 + y^2 = k\), que son círculos en el plano \(xy\).

3. **Proyecciones:**
   - **Plano \(XY\):** \(x^2 + y^2 = k\).
   - **Plano \(XZ\):** \(x = \sqrt{z}\), una parábola.
   - **Plano \(YZ\):** \(y = \sqrt{z}\), otra parábola.

4. **Dominio y rango:**  
   - **Dominio:** Todo \(\mathbb{R}^2\) en \(x\) e \(y\).  
   - **Rango:** \([0, \infty)\), ya que \(z = x^2 + y^2\) es siempre positivo.

5. **Comprobación gráfica:**  
   Usa GeoGebra o MATLAB para graficar el paraboloide y verificar las proyecciones.

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### **Ejercicio 2:**
Función:  
\[
f(x, y, z) = x^2 - y^2 - z
\]

1. **Superficie cuadrática:**  
   Ecuación: \(x^2 - y^2 = z\), un hiperboloide de una hoja.

2. **Curvas de nivel:**  
   Para \(z = k\), obtenemos las curvas de nivel \(x^2 - y^2 = k\), que son hipérbolas.

3. **Proyecciones:**
   - **Plano \(XY\):** \(x^2 - y^2 = z\).
   - **Plano \(XZ\):** \(x^2 = z + y^2\), parábola.
   - **Plano \(YZ\):** Hipérbolas.

4. **Dominio y rango:**  
   - **Dominio:** Todo \(\mathbb{R}^2\).  
   - **Rango:** Todo \(\mathbb{R}\), ya que el hiperboloide no tiene restricciones en \(z\).

5. **Comprobación gráfica:**  
   Usa software gráfico para visualizar el hiperboloide y las proyecciones en los planos coordenados.

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### **Ejercicio 3:**
Función:  
\[
f(x, y, z) = 4x^2 + 9y^2 - z^2
\]

1. **Superficie cuadrática:**  
   Ecuación: \(4x^2 + 9y^2 = z^2\), un cono elíptico.

2. **Curvas de nivel:**  
   Para \(z = k\), obtenemos elipses: \(\frac{x^2}{\frac{k^2}{4}} + \frac{y^2}{\frac{k^2}{9}} = 1\).

3. **Proyecciones:**
   - **Plano \(XY\):** Elipses.  
   - **Plano \(XZ\):** Parábolas.
   - **Plano \(YZ\):** Parábolas.

4. **Dominio y rango:**  
   - **Dominio:** Todo \(\mathbb{R}^2\).  
   - **Rango:** Todo \(\mathbb{R}\), ya que \(z\) puede tomar cualquier valor.

5. **Comprobación gráfica:**  
   Visualiza el cono elíptico con software como MATLAB.

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### **Ejercicio 4:**
Función:  
\[
f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1
\]

1. **Superficie cuadrática:**  
   Ecuación: \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\), una esfera de radio 1.

2. **Curvas de nivel:**  
   Para cada valor de \(z = k\), obtenemos círculos: \(x^2 + y^2 = 1 - k^2\).

3. **Proyecciones:**
   - **Plano \(XY\):** Círculos.  
   - **Plano \(XZ\):** Semicírculos.
   - **Plano \(YZ\):** Semicírculos.

4. **Dominio y rango:**  
   - **Dominio:** \(x^2 + y^2 + z^2 \leq 1\), el interior de la esfera.  
   - **Rango:** \([-1, 1]\), ya que los valores de \(z\) están limitados por la ecuación.

5. **Comprobación gráfica:**  
   Graficar la esfera y comprobar las proyecciones.

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### **Ejercicio 5:**
Función:  
\[
f(x, y, z) = 2x^2 - 3y^2 + z^2
\]

1. **Superficie cuadrática:**  
   Ecuación: \(2x^2 - 3y^2 + z^2 = 0\), una hiperboloide de dos hojas.

2. **Curvas de nivel:**  
   Para \(z = k\), se obtienen hipérbolas o elipses dependiendo de los valores de \(k\).

3. **Proyecciones:**
   - **Plano \(XY\):** Hipérbolas.  
   - **Plano \(XZ\):** Parábolas.
   - **Plano \(YZ\):** Hipérbolas.

4. **Dominio y rango:**  
   - **Dominio:** Todo \(\mathbb{R}^2\).  
   - **Rango:** Todo \(\mathbb{R}\), ya que no hay restricciones en \(z\).

5. **Comprobación gráfica:**  
   Usa software gráfico para visualizar la hiperboloide de dos hojas.

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### Preguntas Relativas:

1. ¿Cómo cambiaría la gráfica si el coeficiente de \(x^2\) se modifica en la función \(f(x, y, z) = x^2 + y^2 - z\)?
2. ¿Qué sucede si agregamos un término lineal en la función cuadrática, como \(f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z\)?
3. ¿Cómo afectaría la función la rotación de ejes de coordenadas?
4. ¿Qué propiedades geométricas comparten el paraboloide y la esfera?
5. ¿Cómo se relacionan las curvas de nivel con las intersecciones de la superficie en diferentes planos?

### Tip:
Cuando graficas superficies cuadráticas en software, usa diferentes colores para las proyecciones en cada plano coordenado para hacer más claras las intersecciones y las curvas de nivel.

Una serie de 5 ejercicios de funciones de tres variables con el siguiente contenido: La elaboración manual de la superficie cuadrática, sus curvas de nivel y sus proyecciones en los planos XY, XZ y YZ. El dominio y rango de la función. La comprobación gráfica realizada con software.

Explore 5 exercises on quadratic surfaces, covering manual surface elaboration, level curves, projections on XY, XZ, and YZ planes, domain and range analysis, and graphical verification using software like GeoGebra or MATLAB. This content is ideal for university-level multivariable calculus students.

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