5. Considere os vetores u, v e w perpendiculares dois a dois entre si. Mostre que ||u + v + w|| = ||u||² + ||v||² + ||w||².

Dica: ||u + v + w||² = (u + v + w) x (u + v + w)

Vamos demonstrar que \( \|u + v + w\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2 + \|w\|^2 \).

**Passo 1: Expandindo a norma ao quadrado**

Sabemos que a norma ao quadrado de um vetor \( \mathbf{a} \) pode ser expressa como o produto interno de \( \mathbf{a} \) com ele mesmo, ou seja:

\[
\|u + v + w\|^2 = (u + v + w) \cdot (u + v + w)
\]

Expandindo o produto interno:

\[
(u + v + w) \cdot (u + v + w) = u \cdot u + u \cdot v + u \cdot w + v \cdot u + v \cdot v + v \cdot w + w \cdot u + w \cdot v + w \cdot w
\]

**Passo 2: Simplificando usando a ortogonalidade**

Dado que \( u \), \( v \) e \( w \) são perpendiculares dois a dois, sabemos que os produtos internos entre vetores diferentes são zero. Portanto, temos:

\[
u \cdot v = 0, \quad u \cdot w = 0, \quad v \cdot w = 0
\]

Assim, os termos \( u \cdot v \), \( u \cdot w \), \( v \cdot u \), \( v \cdot w \), \( w \cdot u \) e \( w \cdot v \) desaparecem, restando apenas:

\[
\|u + v + w\|^2 = u \cdot u + v \cdot v + w \cdot w
\]

**Passo 3: Expressando como normas**

Lembrando que \( u \cdot u = \|u\|^2 \), \( v \cdot v = \|v\|^2 \) e \( w \cdot w = \|w\|^2 \), podemos escrever:

\[
\|u + v + w\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2 + \|w\|^2
\]

Portanto, está demonstrado que:

\[
\|u + v + w\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2 + \|w\|^2
\]

**Conclusão:**

Concluímos que \( \|u + v + w\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2 + \|w\|^2 \) conforme solicitado, utilizando a ortogonalidade dos vetores para simplificar a expressão.

---

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta?

Aqui estão algumas perguntas relacionadas:

1. O que são vetores ortogonais?
2. Como o produto interno se relaciona com a norma de um vetor?
3. Qual é a diferença entre norma e magnitude de um vetor?
4. Quais são as propriedades do produto interno?
5. Como expandir o quadrado de uma soma de vetores?
6. Qual é a interpretação geométrica da ortogonalidade?
7. Como essa propriedade se aplica em espaços de maior dimensão?
8. Por que a ortogonalidade simplifica a soma de quadrados de normas?

**Dica:** A ortogonalidade em vetores pode ser usada para simplificar cálculos em diversos problemas de geometria e álgebra linear.

Learn how to prove the equation ||u + v + w|| = ||u||² + ||v||² + ||w||² using the properties of vectors and their orthogonality. This problem demonstrates the application of vector norms and orthogonality in mathematical proofs. Suitable for university-level students and enthusiasts of linear algebra.

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