Cho tứ giác ABCD có 2 đường thẳng chứa AB và DC vuông góc nhau. Gọi M, N, P, Q theo thứ
tự là trung điểm BC, BD, AD và AC. Chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật.

Cho tứ giác \(ABCD\) với hai đường thẳng chứa \(AB\) và \(DC\) vuông góc nhau. Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(BC\), \(BD\), \(AD\), và \(AC\). Chúng ta cần chứng minh rằng tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật.

### Chứng minh:

#### 1. Xét đường chéo \(MN\) và \(PQ\) của tứ giác \(MNPQ\):
- Vì \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(BD\), nên theo định lý đường trung bình trong tam giác, \(MN\) là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh của tam giác \(BCD\), do đó \(MN\) song song với \(CD\).
- Tương tự, \(P\) và \(Q\) là trung điểm của \(AD\) và \(AC\), nên \(PQ\) là đường trung bình của tam giác \(ACD\), và do đó \(PQ\) song song với \(DC\).

Như vậy, \(MN \parallel PQ\).

#### 2. Xét đường chéo \(MP\) và \(NQ\) của tứ giác \(MNPQ\):
- \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(Q\) là trung điểm của \(AC\), nên \(MQ\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), do đó \(MQ\) song song với \(AB\).
- Tương tự, \(N\) là trung điểm của \(BD\) và \(P\) là trung điểm của \(AD\), nên \(NP\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\), do đó \(NP\) song song với \(AB\).

Như vậy, \(MQ \parallel NP\).

#### 3. Xét hình dạng của tứ giác \(MNPQ\):
- Từ kết quả trên, ta thấy rằng \(MN \parallel PQ\) và \(MP \parallel NQ\).
- Do \(AB \perp DC\), nên \(MQ\) và \(MN\) vuông góc với nhau.

Vậy tứ giác \(MNPQ\) có hai cặp cạnh đối song song và vuông góc với nhau, nên \(MNPQ\) là hình chữ nhật.

---

### Bạn có cần chi tiết thêm hoặc có câu hỏi nào không?

### 5 câu hỏi liên quan:
1. Làm thế nào để áp dụng định lý đường trung bình trong tam giác để chứng minh song song giữa các cạnh?
2. Có thể dùng định lý nào khác để chứng minh rằng \(MN \parallel PQ\)?
3. Điều gì sẽ xảy ra nếu tứ giác \(ABCD\) không có các đường thẳng chứa \(AB\) và \(DC\) vuông góc nhau?
4. Có cách nào khác để chứng minh \(MNPQ\) là hình chữ nhật không?
5. Nếu \(MNPQ\) là hình vuông, cần thêm điều kiện gì cho tứ giác \(ABCD\)?

### Mẹo:
Khi muốn chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật, kiểm tra các cặp cạnh song song và sử dụng tính chất vuông góc giữa các đường chéo hoặc các cạnh đối diện.

Learn how to prove that quadrilateral MNPQ, formed by the midpoints of quadrilateral ABCD with perpendicular diagonals AB and DC, is a rectangle. This proof uses geometric principles such as the midpoint theorem and properties of rectangles. Suitable for high school students studying geometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation