 Hallar la descomposición factorial en 𝑅[𝑥] del polinomio 𝑃(𝑥) = 3𝑥4 −
 6𝑥3 +3𝑥 −6 sabiendo que 𝑃(𝑥) es divisible por (𝑥2 − 𝑥 +1). Luego, determinar el 
conjunto de raíces.

Vamos a resolver el problema paso a paso:

### 1. Descomposición factorial
Nos piden descomponer el polinomio:

\[
P(x) = 3x^4 - 6x^3 + 3x - 6
\]

Sabemos que es divisible por \( Q(x) = x^2 - x + 1 \), lo cual indica que \( Q(x) \) es un factor del polinomio. Para encontrar la descomposición factorial, vamos a dividir \( P(x) \) entre \( Q(x) \) usando la **división de polinomios**.

#### División de polinomios
Primero realizamos la división:

Dividimos el término de mayor grado de \( P(x) \) entre el término de mayor grado de \( Q(x) \):

\[
\frac{3x^4}{x^2} = 3x^2
\]

Multiplicamos \( Q(x) \) por \( 3x^2 \):

\[
3x^2(x^2 - x + 1) = 3x^4 - 3x^3 + 3x^2
\]

Restamos \( 3x^4 - 3x^3 + 3x^2 \) de \( P(x) \):

\[
(3x^4 - 6x^3 + 3x - 6) - (3x^4 - 3x^3 + 3x^2) = -3x^3 - 3x^2 + 3x - 6
\]

Ahora repetimos el proceso para \( -3x^3 \):

\[
\frac{-3x^3}{x^2} = -3x
\]

Multiplicamos \( Q(x) \) por \( -3x \):

\[
-3x(x^2 - x + 1) = -3x^3 + 3x^2 - 3x
\]

Restamos \( -3x^3 + 3x^2 - 3x \) de \( -3x^3 - 3x^2 + 3x - 6 \):

\[
(-3x^3 - 3x^2 + 3x - 6) - (-3x^3 + 3x^2 - 3x) = -6x^2 + 6x - 6
\]

Finalmente, repetimos el proceso para \( -6x^2 \):

\[
\frac{-6x^2}{x^2} = -6
\]

Multiplicamos \( Q(x) \) por \( -6 \):

\[
-6(x^2 - x + 1) = -6x^2 + 6x - 6
\]

Restamos \( -6x^2 + 6x - 6 \) de \( -6x^2 + 6x - 6 \):

\[
(-6x^2 + 6x - 6) - (-6x^2 + 6x - 6) = 0
\]

### Resultado de la división
El cociente de la división es \( 3x^2 - 3x - 6 \), por lo tanto, la descomposición factorial de \( P(x) \) es:

\[
P(x) = (x^2 - x + 1)(3x^2 - 3x - 6)
\]

### 2. Determinación del conjunto de raíces
Para encontrar el conjunto de raíces de \( P(x) \), necesitamos resolver:

1. \( x^2 - x + 1 = 0 \)
2. \( 3x^2 - 3x - 6 = 0 \)

#### Resolviendo \( x^2 - x + 1 = 0 \):

La ecuación cuadrática no tiene raíces reales, ya que el discriminante es negativo:

\[
\Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3
\]

Por lo tanto, las raíces son complejas:

\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}
\]

Las raíces de \( x^2 - x + 1 = 0 \) son:

\[
x_1 = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}
\]

#### Resolviendo \( 3x^2 - 3x - 6 = 0 \):

Simplificamos la ecuación dividiendo todo entre 3:

\[
x^2 - x - 2 = 0
\]

Factorizamos:

\[
(x - 2)(x + 1) = 0
\]

Por lo tanto, las raíces son:

\[
x_3 = 2, \quad x_4 = -1
\]

### Conjunto de raíces
El conjunto de raíces de \( P(x) \) es:

\[
\left\{ \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}, 2, -1 \right\}
\]

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se realiza la división de polinomios con más ejemplos?
2. ¿Qué propiedades tiene el polinomio \( x^2 - x + 1 \) en los números complejos?
3. ¿Cómo se determinan las raíces complejas de una ecuación cuadrática?
4. ¿Qué métodos alternativos existen para descomponer polinomios?
5. ¿Cómo se grafican polinomios de cuarto grado y cómo se relacionan con sus raíces?

### Tip: 
El discriminante (\( \Delta \)) es clave para saber si las raíces de una ecuación cuadrática son reales o complejas.

Hallar la descomposición factorial en 𝑅[𝑥] del polinomio 𝑃(𝑥) = 3𝑥^4 − 6𝑥^3 + 3𝑥 − 6 sabiendo que 𝑃(𝑥) es divisible por (𝑥^2 − 𝑥 +1). Luego, determinar el conjunto de raíces.

Solve the polynomial factorization of P(x) = 3x^4 − 6x^3 + 3x − 6 using polynomial division and determine the set of complex and real roots. This problem covers advanced algebra concepts like polynomial factorization, quadratic equations, and complex number roots. Ideal for students in Grades 10-12.

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