1)Uma lata cilíndrica é feita para receber 1litro de óleo. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do
metal para produzir a lata.
Área superficial de um cilindro: 𝐴 = 2𝜋𝑟
2 + 2𝜋𝑟ℎ
Volume de um cilindro: V = 𝜋𝑟
2ℎ

2)Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta (em cima) deve ter um volume de 10m3
.
O comprimento de sua base é o dobro da largura. O material para a base custa R$10,00 por metro quadrado e o
material para os lados custa R$6,00 por metro quadrado. Encontre o custo dos materiais para o mais barato de tais
contêineres.

3)Encontre dois números cuja diferença seja 100 e cujo produto seja um mínimo.

4)Encontre dois números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja um mínimo.

5)Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro de 100m e cuja área seja a maior possível.

6)Encontre as dimensões de um retângulo com área de 1000m2
cujo perímetro seja o menor possível.

resolva esses exercicios

Vamos resolver os exercícios um a um.

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### **1) Minimização de custo de uma lata cilíndrica com volume de 1 litro (1000 cm³)**

#### Fórmulas:
- **Área superficial do cilindro:** $ A = 2\pi r^2 + 2\pi rh $
- **Volume do cilindro:** $ V = \pi r^2 h $

Sabemos que o volume $ V = 1000 $ cm³, ou seja, $ \pi r^2 h = 1000 $.

Queremos minimizar a área $ A $, então:
1. Isolando $ h $ na equação de volume:
   \[
   h = \frac{1000}{\pi r^2}
   \]

2. Substituímos $ h $ na equação da área:
   \[
   A(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left( \frac{1000}{\pi r^2} \right) = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}
   \]

Agora, minimizamos $ A(r) $:
3. Derivada de $ A(r) $ em relação a $ r $:
   \[
   \frac{dA}{dr} = 4\pi r - \frac{2000}{r^2}
   \]

4. Igualamos a derivada a zero para encontrar o valor de $ r $ que minimiza a área:
   \[
   4\pi r = \frac{2000}{r^2}
   \]

5. Multiplicando ambos os lados por $ r^2 $:
   \[
   4\pi r^3 = 2000
   \]

6. Isolando $ r $:
   \[
   r^3 = \frac{2000}{4\pi} = \frac{500}{\pi}
   \]

   \[
   r = \left(\frac{500}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}}
   \]

   Aproximando:
   \[
   r \approx 5.419 \, \text{cm}
   \]

7. Para encontrar $ h $, substituímos $ r $ na equação do volume:
   \[
   h = \frac{1000}{\pi r^2} \approx \frac{1000}{\pi (5.419)^2} \approx 10.838 \, \text{cm}
   \]

As dimensões que minimizam o custo são $ r \approx 5.419 $ cm e $ h \approx 10.838 $ cm.

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### **2) Minimização de custo de um contêiner retangular com volume de 10 m³**

#### Dados:
- **Volume:** $ V = 10 \, m^3 $
- O comprimento é o dobro da largura, então $ l = 2w $.
- **Custo da base:** R$ 10,00 por m².
- **Custo dos lados:** R$ 6,00 por m².

Queremos minimizar o custo total de material.

1. **Volume** do contêiner:
   \[
   V = lwh = 2w^2h = 10
   \]
   Logo:
   \[
   h = \frac{10}{2w^2} = \frac{5}{w^2}
   \]

2. **Custo total** do material:
   - Área da base: $ l \times w = 2w^2 $
   - Área dos lados: $ 2lh + 2wh = 2(2w)h + 2wh = 6wh $

   Substituindo $ h = \frac{5}{w^2} $:
   \[
   C(w) = 10 \cdot 2w^2 + 6 \cdot w \cdot \frac{5}{w^2} = 20w^2 + \frac{30}{w}
   \]

Agora, minimizamos $ C(w) $:
3. Derivada de $ C(w) $:
   \[
   \frac{dC}{dw} = 40w - \frac{30}{w^2}
   \]

4. Igualando a zero para minimizar:
   \[
   40w = \frac{30}{w^2}
   \]

5. Multiplicando ambos os lados por $ w^2 $:
   \[
   40w^3 = 30
   \]

6. Isolando $ w $:
   \[
   w^3 = \frac{30}{40} = 0.75
   \]

   \[
   w = \sqrt[3]{0.75} \approx 0.908 \, m
   \]

7. Encontrando $ l $ e $ h $:
   \[
   l = 2w \approx 1.816 \, m, \quad h = \frac{5}{w^2} \approx 6.066 \, m
   \]

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### **3) Dois números cuja diferença seja 100 e cujo produto seja mínimo**

Chamemos os números de $ x $ e $ y $, com a condição $ x - y = 100 $, ou seja, $ x = y + 100 $. O produto dos números é dado por $ P = x \cdot y $.

Substituímos $ x = y + 100 $ em $ P $:
\[
P(y) = (y + 100) \cdot y = y^2 + 100y
\]

Minimizamos $ P(y) $:
1. Derivada de $ P(y) $:
   \[
   \frac{dP}{dy} = 2y + 100
   \]

2. Igualando a zero para encontrar o valor de $ y $ que minimiza:
   \[
   2y + 100 = 0
   \]
   \[
   y = -50
   \]

Logo, $ x = y + 100 = -50 + 100 = 50 $.

Os dois números são $ x = 50 $ e $ y = -50 $.

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### **4) Dois números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima**

Chamemos os números de $ x $ e $ y $, com a condição $ x \cdot y = 100 $, ou seja, $ y = \frac{100}{x} $. A soma dos números é $ S = x + y $.

Substituímos $ y = \frac{100}{x} $ em $ S $:
\[
S(x) = x + \frac{100}{x}
\]

Minimizamos $ S(x) $:
1. Derivada de $ S(x) $:
   \[
   \frac{dS}{dx} = 1 - \frac{100}{x^2}
   \]

2. Igualando a zero para encontrar $ x $:
   \[
   1 = \frac{100}{x^2}
   \]
   \[
   x^2 = 100 \quad \Rightarrow \quad x = 10
   \]

Logo, $ y = \frac{100}{x} = 10 $. Os dois números são $ x = 10 $ e $ y = 10 $.

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### **5) Dimensões de um retângulo com perímetro de 100 m e área máxima**

Sabemos que o perímetro $ P = 2l + 2w = 100 $, ou seja, $ l + w = 50 $. A área é dada por $ A = l \cdot w $.

Substituímos $ l = 50 - w $ em $ A $:
\[
A(w) = (50 - w) \cdot w = 50w - w^2
\]

Maximizamos $ A(w) $:
1. Derivada de $ A(w) $:
   \[
   \frac{dA}{dw} = 50 - 2w
   \]

2. Igualando a zero para encontrar $ w $:
   \[
   50 - 2w = 0 \quad \Rightarrow \quad w = 25
   \]

Logo, $ l = 50 - w = 25 $. As dimensões são $ l = 25 \, m $ e $ w = 25 \, m $ (um quadrado).

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### **6) Dimensões de um retângulo com área de 1000 m² e perímetro mínimo**

Sabemos que $ A = l \cdot w = 1000 $, ou seja, $ w = \frac{1000}{l} $. O perímetro é dado por $ P = 2l + 2w $.

Substituímos $ w = \frac{1000}{l} $ em $ P $:
\[
P(l) = 2l + 2\cdot\frac{1000}{l} = 2l + \frac{2000}{l}
\]

Minimizamos $ P(l) $:
1. Derivada de $ P(l) $:
   \[
   \frac{dP}{dl} = 2 - \frac{2000}{l^2}
   \]

2

1) Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata. 2) Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta (em cima) deve ter um volume de 10m3. O comprimento de sua base é o dobro da largura. O material para a base custa R$10,00 por metro quadrado e o material para os lados custa R$6,00 por metro quadrado. Encontre o custo dos materiais para o mais barato de tais contêineres. 3) Encontre dois números cuja diferença seja 100 e cujo produto seja um mínimo. 4) Encontre dois números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja um mínimo. 5) Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro de 100m e cuja área seja a maior possível. 6) Encontre as dimensões de um retângulo com área de 1000m2 cujo perímetro seja o menor possível.

This page covers a series of optimization problems in geometry and calculus, including minimizing the cost of producing a cylindrical can, finding the cheapest dimensions for a rectangular container, and solving for two numbers with constraints. Learn how to apply derivatives and critical points to solve these real-world problems. Suitable for undergraduate students.

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