Donats dos vectors de moduls 3 i 6 aplicats en un mateix punt, calculeu el mòdul del vector resultant quan formen un angle de:

a) 45º b) 30º i c) 90º

Per calcular el mòdul del vector resultant de dos vectors aplicats en un mateix punt, utilitzem la **llei del cosinus**. Si tenim dos vectors de mòduls \( A \) i \( B \), i formen un angle \( \theta \), el mòdul del vector resultant \( R \) es calcula amb la fórmula:

\[
R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2 \cdot A \cdot B \cdot \cos(\theta)}
\]

En aquest cas, \( A = 3 \) i \( B = 6 \). Calculem el mòdul del resultant per als tres angles donats:

### a) Angle de 45º
\[
R = \sqrt{3^2 + 6^2 + 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \cos(45^\circ)}
\]
Sabem que \( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), així que:
\[
R = \sqrt{9 + 36 + 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{9 + 36 + 36\sqrt{2}/2}
\]
El resultat aproximat és:

\[
R \approx \sqrt{45 + 18\sqrt{2}} 
\]

### b) Angle de 30º
\[
R = \sqrt{3^2 + 6^2 + 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \cos(30^\circ)}
\]
Sabem que \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), així que:
\[
R = \sqrt{9 + 36 + 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{9 + 36 + 36\sqrt{3}/2}
\]
El resultat aproximat és:

\[
R \approx \sqrt{45 + 18\sqrt{3}} 
\]

### c) Angle de 90º
\[
R = \sqrt{3^2 + 6^2 + 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \cos(90^\circ)}
\]
Com que \( \cos(90^\circ) = 0 \), tenim:
\[
R = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45}
\]
El resultat és:
\[
R \approx 6.71
\]

---

Si necessites els valors numèrics precisos, avisa’m i faig el càlcul detallat! També puc aclarir qualsevol dubte sobre com s’ha aplicat la fórmula.

**Preguntes relacionades:**
1. Com es calcula el mòdul d’un vector en coordenades cartesianes?
2. Quina és la diferència entre la llei del cosinus i la llei del sinus?
3. Com afecta l'angle entre dos vectors al mòdul del resultant?
4. Pots demostrar per què \( \cos(90^\circ) = 0 \)?
5. Per què necessitem la llei del cosinus per a angles diferents de 90 graus?

**Tip**: El valor de l’angle entre dos vectors és fonamental per determinar la direcció i mòdul del vector resultant!

Donats dos vectors de mòduls 3 i 6 aplicats en un mateix punt, calculeu el mòdul del vector resultant quan formen un angle de: a) 45º b) 30º i c) 90º

Learn how to calculate the magnitude of the resultant vector given two vectors with magnitudes 3 and 6 forming angles of 45º, 30º, and 90º. Using the cosine rule, this step-by-step solution helps students understand key trigonometric principles. Suitable for Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation