1. Постройте комплексное число на комплексной плоскости и укажите для него модуль и аргумент.

a) $4-4i;б)-3i;B)2;в)\sqrt {3-i}$

Для того чтобы построить комплексные числа на комплексной плоскости и найти их модули и аргументы, выполним анализ каждого числа по отдельности.

### a) $ z_1 = 4 - 4i $
1. **Построение на комплексной плоскости**: Это комплексное число можно записать как $ z_1 = 4 + (-4)i $, где действительная часть $ Re(z_1) = 4 $, а мнимая $ Im(z_1) = -4 $. То есть точка находится на координатах $ (4, -4) $.
   
2. **Модуль**: Модуль числа $ z_1 $ — это расстояние от начала координат до точки $ (4, -4) $. Вычисляется по формуле:
   \[
   |z_1| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}.
   \]

3. **Аргумент**: Аргумент — это угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором, соединяющим начало координат с точкой $ z_1 $. Аргумент числа $ z_1 $ в четвертой координатной четверти:
   \[
   \arg(z_1) = \tan^{-1}\left(\frac{-4}{4}\right) = \tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}.
   \]

### б) $ z_2 = -3i $
1. **Построение на комплексной плоскости**: Это чисто мнимое число, у которого действительная часть равна 0, а мнимая часть равна $ -3 $. То есть точка находится на координатах $ (0, -3) $.

2. **Модуль**: Модуль числа $ z_2 $:
   \[
   |z_2| = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9} = 3.
   \]

3. **Аргумент**: Аргумент — это угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором. Для точки на отрицательной части мнимой оси:
   \[
   \arg(z_2) = -\frac{\pi}{2}.
   \]

### B) $ z_3 = 2 $
1. **Построение на комплексной плоскости**: Это чисто действительное число, где мнимая часть равна 0, а действительная часть равна $ 2 $. Точка находится на координатах $ (2, 0) $.

2. **Модуль**: Модуль числа $ z_3 $:
   \[
   |z_3| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2.
   \]

3. **Аргумент**: Аргумент для положительных действительных чисел всегда равен 0:
   \[
   \arg(z_3) = 0.
   \]

### в) $ z_4 = \sqrt{3} - i $
1. **Построение на комплексной плоскости**: Действительная часть равна $ \sqrt{3} $, а мнимая часть равна $ -1 $. Точка находится на координатах $ (\sqrt{3}, -1) $.

2. **Модуль**: Модуль числа $ z_4 $:
   \[
   |z_4| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2.
   \]

3. **Аргумент**: Аргумент вычисляется как:
   \[
   \arg(z_4) = \tan^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right) = \tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}.
   \]

### Ответы:
- $ z_1 = 4 - 4i $: $ |z_1| = 4\sqrt{2} $, $ \arg(z_1) = -\frac{\pi}{4} $.
- $ z_2 = -3i $: $ |z_2| = 3 $, $ \arg(z_2) = -\frac{\pi}{2} $.
- $ z_3 = 2 $: $ |z_3| = 2 $, $ \arg(z_3) = 0 $.
- $ z_4 = \sqrt{3} - i $: $ |z_4| = 2 $, $ \arg(z_4) = -\frac{\pi}{6} $.

Хотите узнать подробности по одному из примеров или есть ли у вас дополнительные вопросы?

---

**Связанные вопросы:**
1. Как найти комплексное сопряженное число?
2. Как вычислять модуль комплексного числа в общем случае?
3. В чем разница между аргументом и углом для комплексного числа?
4. Как преобразовать комплексное число в тригонометрическую форму?
5. Как решать уравнения с комплексными числами?

**Совет:** При нахождении аргумента всегда учитывайте в какой четверти находится комплексное число!

Постройте комплексное число на комплексной плоскости и укажите для него модуль и аргумент.

a) $4-4i;б)-3i;B)2;в)\sqrt {3-i}$

This detailed solution covers how to plot complex numbers on the complex plane and find their modulus and argument. The examples include 4-4i, -3i, 2, and √(3)-i. Key concepts include the modulus formula √(Re^2 + Im^2) and the argument formula tan⁻¹(Im/Re). Suitable for Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation