Uma curva de estrada é compensada quando o plano de rodagem se inclina em
direção ao centro de curvatura de um ângulo θ em relação à horizontal. Na figura (fora de
escala) o eixo vertical y passa pelo centro da trajetória circular de raio R executada pelo carro.
Se θ = 0◦ a curva não é compensada.
Um engenheiro está planejando uma estrada na qual o coeficiente de atrito estático entre os
pneus e o pavimento é µ = 0,60 e está considerando o caso em que carros trafegam com
velocidade de módulo constante de V = 108 km/h. Determine o menor valor de R, em m, com
o qual os carros fazem as curvas sem derrapar, nos casos:
(a) θ = 0.
(b) θ = 15◦

Vamos resolver o problema em duas partes, considerando os dois valores de \(\theta\).

### Conversão de unidades
Primeiro, vamos converter a velocidade \(V\) de \(108 \, \text{km/h}\) para metros por segundo (\(\text{m/s}\)):
\[
V = 108 \, \text{km/h} \times \frac{1000 \, \text{m}}{1 \, \text{km}} \times \frac{1 \, \text{h}}{3600 \, \text{s}} = 30 \, \text{m/s}
\]

### Caso (a) \(\theta = 0^\circ\)

Quando \(\theta = 0^\circ\), a curva não é compensada. A força centrípeta necessária para manter o carro em movimento circular é fornecida apenas pela força de atrito estático. A força de atrito estático \(f_{\text{atrito}}\) é dada por:
\[
f_{\text{atrito}} = \mu N
\]
onde \(N\) é a força normal. Como a estrada não está inclinada (\(\theta = 0^\circ\)), a força normal \(N\) é igual ao peso do carro \(mg\), onde \(m\) é a massa do carro e \(g\) é a aceleração da gravidade (\(g \approx 9,8 \, \text{m/s}^2\)).

A força centrípeta necessária é:
\[
f_{\text{centrípeta}} = \frac{mV^2}{R}
\]

Para que o carro não derrape, a força de atrito deve ser igual ou maior que a força centrípeta:
\[
\mu mg \geq \frac{mV^2}{R}
\]

Cancelando a massa \(m\) e rearranjando para encontrar \(R\):
\[
R \geq \frac{V^2}{\mu g}
\]
Substituindo os valores:
\[
R \geq \frac{(30 \, \text{m/s})^2}{0,60 \times 9,8 \, \text{m/s}^2}
\]
\[
R \geq \frac{900 \, \text{m}^2/\text{s}^2}{5,88 \, \text{m/s}^2}
\]
\[
R \geq 153,06 \, \text{m}
\]
Então, o menor valor de \(R\) para \(\theta = 0^\circ\) é **153,06 metros**.

### Caso (b) \(\theta = 15^\circ\)

Quando a estrada está inclinada, tanto a componente da força normal quanto a força de atrito contribuem para a força centrípeta. A nova equação para a força centrípeta é:
\[
f_{\text{centrípeta}} = N \sin\theta + \mu N \cos\theta
\]
Substituindo \(N = mg \cos\theta\):
\[
f_{\text{centrípeta}} = mg \cos\theta (\sin\theta + \mu \cos\theta)
\]

Igualando à força centrípeta necessária:
\[
mg \cos\theta (\sin\theta + \mu \cos\theta) = \frac{mV^2}{R}
\]
Cancelando a massa \(m\) e rearranjando para \(R\):
\[
R = \frac{V^2}{g \cos\theta (\sin\theta + \mu \cos\theta)}
\]

Substituindo os valores:
\[
R = \frac{(30 \, \text{m/s})^2}{9,8 \, \text{m/s}^2 \times \cos 15^\circ \times (\sin 15^\circ + 0,60 \times \cos 15^\circ)}
\]

Primeiro, vamos calcular os valores trigonométricos:
\[
\cos 15^\circ \approx 0,9659, \quad \sin 15^\circ \approx 0,2588
\]

Substituindo esses valores:
\[
R = \frac{900 \, \text{m}^2/\text{s}^2}{9,8 \times 0,9659 \times (0,2588 + 0,60 \times 0,9659)}
\]
\[
R = \frac{900 \, \text{m}^2/\text{s}^2}{9,4678 \times (0,2588 + 0,5795)}
\]
\[
R = \frac{900 \, \text{m}^2/\text{s}^2}{7,9785 \, \text{m/s}^2}
\]
\[
R \approx 112,84 \, \text{m}
\]
Então, o menor valor de \(R\) para \(\theta = 15^\circ\) é **112,84 metros**.

### Resumo das Respostas
- Para \(\theta = 0^\circ\): \(R \geq 153,06 \, \text{m}\)
- Para \(\theta = 15^\circ\): \(R \geq 112,84 \, \text{m}\)

Tem mais alguma dúvida ou gostaria de mais detalhes?

**Perguntas Relacionadas:**
1. Como o coeficiente de atrito influencia a força centrípeta?
2. O que ocorre se o raio \(R\) for menor que o calculado?
3. Como a inclinação da estrada (\(\theta\)) afeta a segurança na curva?
4. Quais seriam as consequências se a velocidade \(V\) fosse maior que a considerada?
5. Como a gravidade (\(g\)) influencia a dinâmica do carro em curvas?
6. Existe um valor máximo para o coeficiente de atrito?
7. Como calcular o ângulo \(\theta\) para uma curva específica?
8. Como seria o cálculo se o atrito fosse dinâmico e não estático?

**Dica:** Quando estiver dirigindo em estradas montanhosas, onde a compensação das curvas é comum, reduza a velocidade ao se aproximar de curvas acentuadas, mesmo que a estrada esteja inclinada para ajudá-lo.

Learn how to calculate the minimum radius \( R \) for cars to negotiate curves without skidding based on road inclination \( \theta \), static friction coefficient \( \mu = 0.60 \), and constant speed \( V = 108 \) km/h (converted to m/s). Includes detailed calculations and scenarios for \( \theta = 0 \) and \( \theta = 15^\circ \).

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