底面の直径2a，深さaの円錐形の容器（頂点を下に，軸を鉛直におく）に水が満たしてある．これに半径rの鉄球を入れるとき，あふれ出る水の量が最大になるのはrがいくらのときか．

この問題は、円錐形の容器に水が満たされている状態で、鉄球を入れたときにあふれ出る水の量が最大になる半径\( r \)を求めるものです。ここでは、あふれる水の量を最大化するための鉄球の半径を見つける手順を解説します。

### 1. 問題の設定と図示
- 円錐の底面の直径は\( 2a \)、したがって半径は\( a \)です。
- 円錐の高さは\( a \)。
- 円錐の頂点を下にし、軸を鉛直に置いている。
- 鉄球の半径は\( r \)。
- 鉄球を入れたときにあふれる水の体積を最大化する。

### 2. 円錐の体積
円錐の体積\( V_{\text{cone}} \)は以下のように計算できます。
\[
V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} \pi a^2 \times a = \frac{1}{3} \pi a^3
\]

### 3. 鉄球の体積
鉄球の体積\( V_{\text{sphere}} \)は、
\[
V_{\text{sphere}} = \frac{4}{3} \pi r^3
\]

### 4. あふれる水の量
あふれる水の量は、鉄球の体積そのものが円錐内の水の体積を超えた分だけです。円錐に完全に収まる場合の\( r \)の最大値は、円錐内に完全に鉄球が収まる場合です。

- 鉄球が完全に収まるためには、鉄球の直径が円錐の高さより小さい必要があります。
\[
2r \leq a \quad \Rightarrow \quad r \leq \frac{a}{2}
\]

### 5. 最適化
あふれる水の体積を最大にするためには、鉄球の体積と円錐の体積を比較して最適な\( r \)を見つける必要があります。円錐の体積よりも鉄球の体積が大きければ、水があふれ出ます。つまり、\( V_{\text{sphere}} \)を最大化する\( r \)を見つけるということです。

鉄球の体積が最大になるのは、\( r \)ができるだけ大きい場合です。しかし、円錐に収まらないとあふれ出すことはできません。そのため、最大の\( r \)は、
\[
r = \frac{a}{2}
\]

このとき、鉄球の体積は
\[
V_{\text{sphere}} = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{a^3}{8} = \frac{\pi a^3}{6}
\]

### 6. 結論
あふれ出る水の量が最大になるのは、鉄球の半径\( r \)が
\[
r = \frac{a}{2}
\]
のときです。

**この問題で確認したい内容や詳しい解説があれば教えてください。**

### 関連する質問
1. 円錐に水を満たしていない場合、鉄球が沈む最大の深さはどのように計算しますか？
2. あふれ出る水の体積を直接計算する方法はありますか？
3. 他の形状の容器においても同様の問題を解く方法はありますか？
4. 円錐の底面に接する鉄球の半径が最大のときの水のあふれ方はどう変わりますか？
5. 鉄球が複数個の場合のあふれる水の量はどのように計算できますか？

### ワンポイントアドバイス
物体が水に沈むときの浮力と体積の関係を理解しておくと、さまざまな物理・数学の問題に応用できます。

Find the maximum overflow of water from a cone when inserting a sphere. This problem involves optimizing the radius of the sphere to maximize the water displaced. Learn the relevant geometry concepts and formulas for conical and spherical volumes. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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