Considere el conjunto 4𝜎%, 𝜎&, 𝜎'6 formado por las siguientes matrices:
𝜎% = 70 1
1 0
8 𝜎& = 70 −𝑖
𝑖 0
8 𝜎' = 71 0
0 −1
8
Determine: (i) si el conjunto anterior es l.i.; (ii) considerando el producto interno usual
de matrices, así como la norma inducida usual, si este conjunto de matrices es un
conjunto ortogonal, ortonormal o ninguno. Estas matrices, conocidas como las
matrices de Pauli, son fundamentales en el estudio de la Mecánica Cuántica.

Dado el conjunto de matrices \( \sigma_1 \), \( \sigma_2 \), y \( \sigma_3 \), conocidas como las matrices de Pauli, vamos a analizar los dos puntos solicitados.

Las matrices son las siguientes:

\[
\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad
\sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad
\sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]

### (i) Determinar si el conjunto es linealmente independiente (l.i.)

Un conjunto de matrices es linealmente independiente si la única combinación lineal que da como resultado la matriz nula es la combinación trivial, es decir, cuando todos los coeficientes son cero.

Sea una combinación lineal de las matrices:

\[
a_1 \sigma_1 + a_2 \sigma_2 + a_3 \sigma_3 = 0
\]

Esto significa:

\[
a_1 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} + a_3 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\]

Al sumar estas matrices, el lado izquierdo se convierte en:

\[
\begin{pmatrix} a_3 & a_1 - ia_2 \\ a_1 + ia_2 & -a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\]

De las ecuaciones resultantes:

\[
a_3 = 0, \quad a_1 - ia_2 = 0, \quad a_1 + ia_2 = 0
\]

De las últimas dos ecuaciones, se deduce que \( a_1 = 0 \) y \( a_2 = 0 \). Por lo tanto, la única solución es \( a_1 = a_2 = a_3 = 0 \), lo que implica que las matrices son **linealmente independientes**.

### (ii) ¿Es el conjunto ortogonal, ortonormal o ninguno?

Para verificar si el conjunto es ortogonal o ortonormal, debemos considerar el **producto interno usual de matrices**, que está dado por:

\[
\langle A, B \rangle = \text{tr}(A^\dagger B)
\]

Donde \( \text{tr} \) denota la traza de una matriz y \( A^\dagger \) es la adjunta de la matriz \( A \) (en este caso, la matriz conjugada transpuesta). Si el producto interno entre dos matrices distintas es cero, entonces el conjunto es ortogonal. Si, además, el producto interno de una matriz consigo misma es uno, el conjunto es ortonormal.

#### Cálculo de los productos internos:

1. \( \langle \sigma_1, \sigma_1 \rangle = \text{tr}(\sigma_1^\dagger \sigma_1) = \text{tr}(\sigma_1 \sigma_1) = \text{tr} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2 \)
   
2. \( \langle \sigma_2, \sigma_2 \rangle = \text{tr}(\sigma_2^\dagger \sigma_2) = \text{tr}(\sigma_2 \sigma_2) = \text{tr} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2 \)
   
3. \( \langle \sigma_3, \sigma_3 \rangle = \text{tr}(\sigma_3^\dagger \sigma_3) = \text{tr}(\sigma_3 \sigma_3) = \text{tr} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2 \)
   
4. \( \langle \sigma_1, \sigma_2 \rangle = \text{tr}(\sigma_1^\dagger \sigma_2) = \text{tr}(\sigma_1 \sigma_2) = \text{tr} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} = 0 \)

5. \( \langle \sigma_1, \sigma_3 \rangle = \text{tr}(\sigma_1^\dagger \sigma_3) = \text{tr}(\sigma_1 \sigma_3) = \text{tr} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = 0 \)

6. \( \langle \sigma_2, \sigma_3 \rangle = \text{tr}(\sigma_2^\dagger \sigma_3) = \text{tr}(\sigma_2 \sigma_3) = \text{tr} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{pmatrix} = 0 \)

#### Conclusión:

- El conjunto es **ortogonal**, porque los productos internos entre matrices diferentes son cero.
- El conjunto **no es ortonormal**, porque el producto interno de cada matriz consigo misma no es 1, sino 2.

### Resumen:

1. El conjunto de matrices es **linealmente independiente**.
2. El conjunto de matrices es **ortogonal**, pero no es **ortonormal**.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Qué significa que un conjunto sea ortogonal en un espacio de matrices?
2. ¿Cómo afecta la independencia lineal en la base de un espacio vectorial?
3. ¿Cuál es la importancia de las matrices de Pauli en la mecánica cuántica?
4. ¿Qué otras propiedades algebraicas tienen las matrices de Pauli?
5. ¿Cómo se define una base ortonormal en el contexto de matrices?

**Tip:** Las matrices de Pauli forman una base para el espacio de matrices \( 2 \times 2 \) complejas anti-hermitianas, un resultado crucial en la teoría cuántica.

Considere el conjunto {σ1, σ2, σ3} formado por las siguientes matrices: σ1 = [0 1; 1 0], σ2 = [0 -i; i 0], σ3 = [1 0; 0 -1]. Determine: (i) si el conjunto anterior es l.i.; (ii) considerando el producto interno usual de matrices, así como la norma inducida usual, si este conjunto de matrices es un conjunto ortogonal, ortonormal o ninguno. Estas matrices, conocidas como las matrices de Pauli, son fundamentales en el estudio de la Mecánica Cuántica.

Explore the linear independence and orthogonality of the Pauli matrices σ1, σ2, and σ3 in quantum mechanics. This problem covers key concepts in linear algebra, including matrix inner products and orthogonality. Detailed step-by-step solution provided for university-level students.

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