limite en + infini de (racine carrée de 9x^2-x+1)-3x

Pour résoudre la limite suivante lorsque \( x \to +\infty \) :

\[
\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{9x^2 - x + 1} - 3x \right)
\]

Voici les étapes détaillées :

### Étape 1 : Simplification de l'expression sous la racine
On commence par factoriser \( x^2 \) sous la racine pour simplifier l'expression :

\[
\sqrt{9x^2 - x + 1} = \sqrt{x^2 \left(9 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)} = x \sqrt{9 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}
\]

Ainsi, l'expression devient :

\[
x \sqrt{9 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} - 3x
\]

### Étape 2 : Développer en série pour \( x \to +\infty \)
Lorsque \( x \to +\infty \), on peut utiliser un développement asymptotique pour simplifier l'expression sous la racine.

\[
\sqrt{9 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} \approx 3 - \frac{1}{6x} + O\left(\frac{1}{x^2}\right)
\]

### Étape 3 : Substituer et simplifier
On substitue cette approximation dans l'expression :

\[
x \left( 3 - \frac{1}{6x} \right) - 3x = 3x - \frac{1}{6} - 3x = -\frac{1}{6}
\]

### Conclusion
La limite de l'expression lorsque \( x \to +\infty \) est donc :

\[
\boxed{-\frac{1}{6}}
\]

Souhaitez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions pour approfondir ce sujet :
1. Comment trouver les développements asymptotiques d'autres fonctions ?
2. Pourquoi factoriser \( x^2 \) dans la racine est-il utile dans ce cas ?
3. Quelle est la différence entre une approximation de premier ordre et une approximation de second ordre ?
4. Comment fonctionne le développement en série pour \( x \to +\infty \) ?
5. Quelles autres méthodes existent pour évaluer des limites à l'infini ?

**Astuce** : Les développements asymptotiques sont très utiles pour simplifier des expressions complexes lorsque \( x \) tend vers des valeurs infinies ou très petites.

Explore how to compute the limit of (sqrt(9x^2 - x + 1) - 3x) as x tends to infinity. This problem involves the use of asymptotic expansions and radical simplifications, suitable for advanced high school or college-level students. Step-by-step solution provided.

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