Uma progressão harmônica é uma sequência de números cujos os inversos formam uma PA. Seja S_n a soma dos n primeiros termos da progressão harmônica 3,4,6, ... Então:
\begin{tasks}(3)
	\task $S_4=20$
	\task $S_4=25$
	\task $S_5=49$
	\task $S_6=49$
	\task $S_2=\dfrac{1}{3}S_4$
	\end{tasks}

Para resolver o problema, precisamos primeiro entender que a sequência fornecida é uma progressão harmônica (PH), o que significa que o inverso de seus termos forma uma progressão aritmética (PA).

### Passo 1: Inverter os termos para encontrar a PA correspondente

A sequência fornecida é $ 3, 4, 6, \dots $. Os inversos desses termos formam a seguinte PA:

\[
\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \dots
\]

### Passo 2: Verificar se essa é uma PA

Vamos verificar se os termos da sequência $ \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6} $ formam uma PA. Para isso, calculamos as diferenças entre os termos consecutivos:

\[
\frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 4}{12} = -\frac{1}{12}
\]
\[
\frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{2 - 3}{12} = -\frac{1}{12}
\]

Como as diferenças são constantes, os inversos de $ 3, 4, 6, \dots $ formam de fato uma PA.

### Passo 3: Expressão geral da PA

A PA tem termo inicial $ a_1 = \frac{1}{3} $ e razão $ r = -\frac{1}{12} $. Logo, o termo geral $ a_n $ da PA é dado por:

\[
a_n = \frac{1}{3} + (n-1) \cdot \left(-\frac{1}{12}\right)
\]

Agora, para encontrar a soma dos primeiros $ n $ termos da progressão harmônica $ S_n $, precisamos inverter a soma dos $ n $ primeiros termos da PA.

### Passo 4: Cálculo de $ S_4 $

A soma dos 4 primeiros termos da PA é:

\[
\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} + \frac{2}{12} = \frac{11}{12}
\]

Assim, $ S_4 = \frac{1}{12} $, não

Uma progressão harmônica é uma sequência de números cujos os inversos formam uma PA. Seja S_n a soma dos n primeiros termos da progressão harmônica 3,4,6, ... Então:
\begin{tasks}(3)
	\task $S_4=20$
	\task $S_4=25$
	\task $S_5=49$
	\task $S_6=49$
	\task $S_2=\dfrac{1}{3}S_4$
\end{tasks}

This problem explores a harmonic progression where the inverses of the terms 3, 4, and 6 form an arithmetic progression. Learn how to calculate the sum of the first few terms, including using summation formulas for arithmetic and harmonic progressions. Suitable for students in Grades 10-12.

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