Prouvez l’identit´e suivante de mani`ere g´eom´etrique:
sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)


Pour prouver l'identité trigonométrique \(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)\) de manière géométrique, utilisons les concepts de la trigonométrie sur le cercle unité.

### Étape 1 : Définir les angles sur le cercle unité
Le cercle unité est un cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un plan cartésien.

1. Soit un angle \(\alpha\) et un angle \(\beta\), tous deux mesurés à partir de l'axe des abscisses positifs.
2. Les coordonnées d'un point sur le cercle unité associées à un angle \(\theta\) sont données par \((\cos(\theta), \sin(\theta))\). Ainsi, pour les angles \(\alpha\) et \(\beta\), nous avons les points :
   - \(P_1 = (\cos(\alpha), \sin(\alpha))\) pour l'angle \(\alpha\),
   - \(P_2 = (\cos(\beta), \sin(\beta))\) pour l'angle \(\beta\).

### Étape 2 : Représentation géométrique de \(\alpha + \beta\)
On cherche à exprimer la somme des angles \(\alpha + \beta\). Pour cela, considérons deux vecteurs dans le plan :
- Un vecteur \(u = (\cos(\alpha), \sin(\alpha))\) qui fait un angle \(\alpha\) avec l'axe des \(x\),
- Un vecteur \(v = (\cos(\beta), \sin(\beta))\), qui fait un angle \(\beta\) avec l'axe des \(x\).

Le vecteur résultant lorsque ces deux angles sont additionnés correspond au point associé à l'angle \(\alpha + \beta\) dans le cercle unité, soit les coordonnées \((\cos(\alpha + \beta), \sin(\alpha + \beta))\).

### Étape 3 : Décomposition du produit des vecteurs
Pour montrer la formule, nous utilisons une décomposition en termes de sinus et cosinus.

1. Utilisons les formules du produit scalaire et vectoriel, ou géométriquement, nous pouvons penser à une rotation d'un vecteur à partir du point \((1, 0)\), qui est l'origine sur le cercle.
2. Les coordonnées du point correspondant à \(\alpha + \beta\) sont obtenues en décomposant la contribution des deux angles \(\alpha\) et \(\beta\) en utilisant des projections :
   - La projection de \(P_1\) sur l'axe \(x\) donne \(\cos(\alpha)\) et sur l'axe \(y\) donne \(\sin(\alpha)\),
   - La projection de \(P_2\) sur les mêmes axes donne les coordonnées en fonction de \(\beta\).

### Étape 4 : Utiliser le développement des angles dans un triangle
En formant un triangle dans le plan cartésien et en projetant les côtés de ce triangle, on retrouve la relation géométrique suivante, exprimant \(\sin(\alpha + \beta)\) comme une somme des projections des côtés :
\[
\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)
\]
C'est cette relation qui découle de la géométrie du cercle unité.

### Conclusion
Ainsi, nous avons prouvé de manière géométrique que l'identité \(\sin(\alpha

Prouvez l'identité suivante de manière géométrique: sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)

Discover the geometric proof of the trigonometric identity sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β). This explanation covers the unit circle, angle addition, and the breakdown of trigonometric components. Ideal for high school students studying trigonometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation