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Para resolver el problema, se te pide encontrar un valor de \(\delta\) tal que:

\[
|x - 1| < \delta \implies |x^2 - 1| < \frac{1}{2}.
\]

### 1. Análisis visual del gráfico:

La gráfica muestra la función \( f(x) = x^2 \), con una línea vertical en \(x = 1\) y una representación de una banda en torno a \(x = 1\) y \(f(1) = 1\). El objetivo es encontrar un \(\delta\) que restrinja el valor de \(x\) para que la imagen en \(f(x) = x^2\) esté dentro de un intervalo \(\left(1 - \frac{1}{2}, 1 + \frac{1}{2}\right)\), es decir, entre \(\frac{1}{2}\) y \( \frac{3}{2}\).

### 2. Planteamiento de la desigualdad:

Queremos que:

\[
|x^2 - 1| < \frac{1}{2},
\]

lo que se traduce en:

\[
-\frac{1}{2} < x^2 - 1 < \frac{1}{2}.
\]

Sumando \(1\) en los tres lados de la desigualdad:

\[
\frac{1}{2} < x^2 < \frac{3}{2}.
\]

### 3. Resolviendo para \(x\):

Ahora despejamos \(x\) tomando raíces cuadradas:

\[
\sqrt{\frac{1}{2}} < |x| < \sqrt{\frac{3}{2}}.
\]

Como nos interesa la vecindad de \(x = 1\), tomamos el intervalo alrededor de 1:

\[
\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 0.707 \quad \text{y} \quad \sqrt{\frac{3}{2}} \approx 1.225.
\]

Por lo tanto, queremos que \(x\) esté en el intervalo:

\[
0.707 < x < 1.225.
\]

### 4. Encontrando \(\delta\):

Como estamos buscando el valor de \(\delta\), que es la diferencia con respecto a \(1\), restamos \(1\) de ambos lados del intervalo:

\[
0.707 < x < 1.225 \implies 0.707 - 1 < x - 1 < 1.225 - 1.
\]

Esto da el intervalo:

\[
-0.293 < x - 1 < 0.225.
\]

Por lo tanto, el valor más pequeño de \(\delta\) es \(\delta = 0.225\), que es el valor positivo de esta diferencia.

### Respuesta:

El valor de \(\delta\) que satisface la condición es \(\delta = 0.225\).

---

¿Te gustaría que te explique algún detalle con más profundidad?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se puede generalizar este método para otras funciones cuadráticas?
2. ¿Qué ocurre si cambiamos el valor de \(\frac{1}{2}\) en la desigualdad original?
3. ¿Por qué se toma el valor absoluto en \( |x - 1| \)?
4. ¿Cómo se relaciona este problema con el concepto de límite en cálculo?
5. ¿Podríamos encontrar \(\delta\) usando métodos algebraicos en lugar del gráfico?

**Tip:** Para problemas de límite y continuidad, el enfoque visual con gráficas puede ayudarte a entender el comportamiento de una función alrededor de puntos clave.

Utilice la gráfica dada de f(x) = x^2 para encontrar un número δ tal que si |x - 1| < δ, entonces |x^2 - 1| < 1/2.

Understand how to find the value of δ for the function f(x) = x^2 such that if |x - 1| < δ, then |x^2 - 1| < 1/2. This problem involves concepts of limits and continuity, suitable for students in Grades 11-12 or Calculus 1.

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