 encontrar la pendiente de la recta tangente a la función 
𝑓
(
𝑥
)
=
7
𝑥
+
4
𝑒
𝑥
f(x)=7 
x
 +4e 
x
  en 
𝑥
=
0
x=0,

Para encontrar la pendiente de la recta tangente a la función \( f(x) = 7x + 4e^x \) en \( x = 0 \), debemos calcular la derivada de \( f(x) \) y luego evaluar dicha derivada en \( x = 0 \).

### Paso 1: Derivar la función \( f(x) \)
La función dada es:
\[
f(x) = 7x + 4e^x
\]
Derivamos cada término por separado:

1. La derivada de \( 7x \) es:
\[
\frac{d}{dx}(7x) = 7
\]

2. La derivada de \( 4e^x \) es:
\[
\frac{d}{dx}(4e^x) = 4e^x
\]

Sumando estas derivadas, obtenemos la derivada total de la función:
\[
f'(x) = 7 + 4e^x
\]

### Paso 2: Evaluar la derivada en \( x = 0 \)
Ahora evaluamos \( f'(x) \) en \( x = 0 \) para encontrar la pendiente de la recta tangente:

\[
f'(0) = 7 + 4e^0
\]

Dado que \( e^0 = 1 \), tenemos:

\[
f'(0) = 7 + 4(1) = 7 + 4 = 11
\]

### Resultado
La pendiente de la recta tangente a la función \( f(x) = 7x + 4e^x \) en \( x = 0 \) es \( 11 \).

¿Necesitas más detalles o tienes alguna pregunta adicional? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se encuentra la ecuación completa de la recta tangente en \( x = 0 \)?
2. ¿Cómo cambia la pendiente de la recta tangente si el valor de \( x \) varía?
3. ¿Cuál es la interpretación gráfica de la pendiente en este caso?
4. ¿Cómo afectaría una función diferente (por ejemplo, \( 7x + 4\ln(x) \)) a la pendiente en \( x = 0 \)?
5. ¿Qué sucede si se calcula la derivada segunda de la función para estudiar la concavidad?

**Tip:** Recuerda que la derivada de una función en un punto te da la pendiente de la recta tangente en ese punto, lo cual es útil para analizar el comportamiento local de la función.

Learn how to find the slope of the tangent line to the function f(x) = 7x + 4e^x at x = 0. This problem involves calculus and derivatives of exponential functions, providing a detailed step-by-step solution. Suitable for college-level mathematics students.

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