25 Determine el número de valores que
toma n para que la solución sea entera
y positiva.
3(x+n) = x(n+2) + 9; n∈ Z ∧ n ≠ 1
A) 2 B) 4 C) 12
D) 6 E) 7


Para resolver este problema, vamos a trabajar con la ecuación dada:

\[ 3(x + n) = x(n + 2) + 9 \]

### Paso 1: Expandir ambos lados de la ecuación
Distribuyamos los términos en ambos lados:

\[ 3x + 3n = xn + 2x + 9 \]

### Paso 2: Reorganizar la ecuación
Reorganizaremos la ecuación para agrupar todos los términos con \( x \) en un lado y los términos con \( n \) en el otro:

\[ 3x - 2x - xn = 9 - 3n \]

Simplificando:

\[ x(3 - 2 - n) = 9 - 3n \]

\[ x(1 - n) = 9 - 3n \]

### Paso 3: Despejar \( x \)
Para encontrar \( x \), despejamos en función de \( n \):

\[ x = \frac{9 - 3n}{1 - n} \]

Para que \( x \) sea un número entero, \( \frac{9 - 3n}{1 - n} \) debe ser un entero.

### Paso 4: Análisis de la fracción
La expresión será entera cuando \( 9 - 3n \) sea divisible por \( 1 - n \). 

\[ \frac{9 - 3n}{1 - n} = 3 \times \frac{3 - n}{n - 1} \]

Esto implica que \( \frac{3 - n}{n - 1} \) debe ser un entero. Ahora analizamos esto considerando posibles valores de \( n \).

### Paso 5: Encontrar valores de \( n \)
Analizamos las posibles divisiones:

- Si \( n - 1 \) es divisor de \( 3 - n \), podemos buscar los valores enteros de \( n \).

Evaluemos algunos valores para \( n \):

1. Si \( n = 0 \), \( x = \frac{9 - 3(0)}{1 - 0} = 9 \) → \( x \) es entero.
2. Si \( n = 2 \), \( x = \frac{9 - 3(2)}{1 - 2} = 3 \) → \( x \) es entero.
3. Si \( n = 4 \), \( x = \frac{9 - 3(4)}{1 - 4} = 1 \) → \( x \) es entero.
4. Si \( n = 7 \), \( x = \frac{9 - 3(7)}{1 - 7} = 2 \) → \( x \) es entero.

Continuando con este proceso y excluyendo \( n = 1 \) como se indica en la restricción \( n \neq 1 \), podemos determinar que \( n \) tiene 4 posibles valores: 0, 2, 4, y 7.

### Respuesta final:
La cantidad de valores que toma \( n \) para que la solución sea entera y positiva es:

**B) 4**

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

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**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo se puede generalizar este método para ecuaciones lineales similares?
2. ¿Qué ocurre si se modifica el valor de la constante en la ecuación original?
3. ¿Cómo afectaría la solución si se cambia el signo de uno de los términos?
4. ¿Es posible que haya más soluciones si eliminamos la restricción \( n \neq 1 \)?
5. ¿Cómo se interpreta la solución si \( n \) toma valores negativos?

**Tip:** Cuando resuelvas ecuaciones con fracciones, siempre verifica si la fracción puede simplificarse o si su denominador puede tomar valores que lo hagan entero.

Learn how to find integer solutions to the equation 3(x + n) = x(n + 2) + 9. Understand the steps involved in solving for n when the solution is an integer and positive. Suitable for high school students studying linear equations and integer solutions.

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