encontre o dominio da função f(x)= raiz quadrada de x-3 / x-1

Para encontrar o domínio da função \( f(x) = \sqrt{\frac{x-3}{x-1}} \), devemos analisar duas condições:

1. **A expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero**: \(\frac{x-3}{x-1} \geq 0\)
2. **O denominador da fração não pode ser zero**: \(x-1 \neq 0\)

### Passo 1: Resolver a desigualdade \(\frac{x-3}{x-1} \geq 0\)

A desigualdade \(\frac{x-3}{x-1} \geq 0\) será satisfeita quando a fração for positiva ou igual a zero. Para isso, analisamos o sinal dos fatores \(x-3\) e \(x-1\).

- \(x-3 = 0\) quando \(x = 3\)
- \(x-1 = 0\) quando \(x = 1\)

Esses valores dividem a reta real em intervalos. Vamos testar o sinal da fração em cada intervalo:

- Para \(x < 1\): \(x-3\) e \(x-1\) são negativos, então \(\frac{x-3}{x-1}\) é positiva.
- Para \(1 < x < 3\): \(x-3\) é negativo e \(x-1\) é positivo, então \(\frac{x-3}{x-1}\) é negativa.
- Para \(x > 3\): \(x-3\) e \(x-1\) são positivos, então \(\frac{x-3}{x-1}\) é positiva.

A fração é não-negativa nos intervalos \(x \leq 1\) ou \(x \geq 3\).

### Passo 2: Considerar a condição \(x-1 \neq 0\)

Temos que excluir o ponto \(x = 1\) do domínio, porque o denominador não pode ser zero.

### Conclusão

O domínio da função \(f(x)\) é a união dos intervalos onde a fração é não-negativa e \(x \neq 1\). Portanto, o domínio é:

\[
D_f = (-\infty, 1) \cup [3, \infty)
\]

Esse é o conjunto de valores de \(x\) para os quais a função \(f(x)\) está definida.

Posso ajudar com mais detalhes ou há alguma dúvida? 

Aqui estão algumas perguntas relacionadas:

1. Como resolver a desigualdade \(\frac{ax+b}{cx+d} > 0\)?
2. O que acontece se \(x = 3\) ou \(x = 1\) for incluído no domínio?
3. Como se define o domínio de uma função com uma raiz quadrada?
4. Como simplificar uma expressão com frações e raízes?
5. Como se resolve uma equação quadrática?
6. Como desenhar o gráfico da função dada?
7. Quais são os zeros de uma função e como encontrá-los?
8. Como derivar a função \(f(x)\) dada e qual seu significado?

**Dica:** Sempre analise o sinal das funções com cuidado, principalmente quando lidar com raízes e frações.

Discover how to find the domain of the function f(x) = sqrt((x-3)/(x-1)). Learn the step-by-step process with detailed explanations and examples. This problem involves analyzing inequalities and understanding the domain restrictions of square root functions.

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