determine o valor do limite lim x->0 1-cos(8x)/x

Para determinar o valor do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(8x)}{x}\), podemos usar a série de Taylor para o cosseno em torno de \(x = 0\). A expansão da série de Taylor para \(\cos(8x)\) é:

\[
\cos(8x) = 1 - \frac{(8x)^2}{2} + \frac{(8x)^4}{24} - \dots
\]

Substituindo na expressão original:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \left(1 - \frac{(8x)^2}{2} + \dots \right)}{x} 
\]

Simplificando:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{(8x)^2}{2} - \dots }{x} = \lim_{x \to 0} \frac{32x^2}{2x} = \lim_{x \to 0} 16x = 0
\]

Portanto, o valor do limite é \(\boxed{0}\).

Gostaria de mais detalhes ou tem alguma pergunta? Aqui estão algumas questões relacionadas:

1. Como aplicar a série de Taylor para outras funções trigonométricas?
2. Como calcular limites usando regras de L'Hôpital?
3. Qual é o papel das séries de Taylor na análise de limites?
4. Como a expansão de Taylor se relaciona com o comportamento de uma função perto de um ponto?
5. Quais são as condições para o uso da série de Taylor em limites?

**Dica:** A série de Taylor é uma ferramenta poderosa para aproximar funções complicadas perto de um ponto específico, especialmente ao lidar com limites!

Learn how to calculate the limit \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(8x)}{x}\) using Taylor series expansion. This problem involves trigonometric functions and their Taylor series approximation. Suitable for advanced high school students and those preparing for calculus exams.

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