Como parte de una investigación de genética se cultiva una pequeña
colonia de Drosophila (moscas pequeñas de las frutas, con dos alas)
en un ambiente de laboratorio. El estudio inicia a los 2 días cuando
se observa que la población de moscas ha aumentado a 200. Después de
5 días, la colonia tiene 400 moscas.
a) Encuentre un modelo poblacional para las moscas después de t días.
b) ¿Cuál será la población de la colonia en 10 días?
c) ¿Cuándo la población de la colonia tendrá 5 000 moscas? 

Este problema describe el crecimiento de una población, lo cual sugiere que podemos usar un **modelo exponencial** de crecimiento poblacional, dado que el crecimiento de poblaciones bajo condiciones ideales suele seguir esta tendencia.

El modelo general para el crecimiento exponencial de una población es:

\[
P(t) = P_0 e^{kt}
\]

Donde:
- \(P(t)\) es la población en función del tiempo \(t\) (en días),
- \(P_0\) es la población inicial,
- \(k\) es la constante de crecimiento,
- \(t\) es el tiempo (en días),
- \(e\) es la base de los logaritmos naturales.

### Paso 1: Encontrar el modelo poblacional

Sabemos que:
1. A los 2 días, la población es de 200 moscas: \(P(2) = 200\).
2. A los 5 días, la población es de 400 moscas: \(P(5) = 400\).

**a) Modelo poblacional**

Primero, usamos la ecuación del crecimiento poblacional en \(t = 2\) y \(t = 5\) para encontrar el valor de \(k\) y construir el modelo:

1. Para \(t = 2\), tenemos:

\[
200 = P_0 e^{2k}
\]

2. Para \(t = 5\), tenemos:

\[
400 = P_0 e^{5k}
\]

Dividimos la segunda ecuación entre la primera para eliminar \(P_0\) y resolver para \(k\):

\[
\frac{400}{200} = \frac{P_0 e^{5k}}{P_0 e^{2k}} \implies 2 = e^{3k}
\]

Tomamos logaritmo natural en ambos lados:

\[
\ln(2) = 3k \implies k = \frac{\ln(2)}{3}
\]

Calculamos el valor de \(k\):

\[
k = \frac{0.6931}{3} \approx 0.2310
\]

Ahora, usamos uno de los valores iniciales (por ejemplo, \(P(2) = 200\)) para encontrar \(P_0\). Sustituimos \(k\) y \(t = 2\) en la ecuación:

\[
200 = P_0 e^{2(0.2310)}
\]

Calculamos \(e^{2(0.2310)}\):

\[
200 = P_0 e^{0.4620} \approx P_0 \times 1.587
\]

Despejamos \(P_0\):

\[
P_0 \approx \frac{200}{1.587} \approx 126.03
\]

Por lo tanto, el modelo poblacional es:

\[
P(t) \approx 126.03 e^{0.2310t}
\]

### Paso 2: Encontrar la población en 10 días

**b) Población en 10 días**

Usamos el modelo obtenido para \(t = 10\):

\[
P(10) = 126.03 e^{0.2310 \times 10} = 126.03 e^{2.31}
\]

Calculamos \(e^{2.31}\):

\[
P(10) \approx 126.03 \times 10.079 \approx 1268.18
\]

Por lo tanto, la población será aproximadamente de **1,268 moscas** después de 10 días.

### Paso 3: Encontrar cuándo la población será de 5,000 moscas

**c) Tiempo cuando la población será de 5,000 moscas**

Usamos la ecuación del modelo para \(P(t) = 5000\):

\[
5000 = 126.03 e^{0.2310 t}
\]

Despejamos \(e^{0.2310 t}\):

\[
\frac{5000}{126.03} = e^{0.2310 t} \implies 39.67 = e^{0.2310 t}
\]

Tomamos logaritmo natural en ambos lados:

\[
\ln(39.67) = 0.2310 t \implies t = \frac{\ln(39.67)}{0.2310}
\]

Calculamos el valor de \(t\):

\[
t \approx \frac{3.680}{0.2310} \approx 15.92
\]

Por lo tanto, la población alcanzará las **5,000 moscas** aproximadamente después de **16 días**.

---

¿Te gustaría que profundice en algún paso o tienes alguna duda? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se ajusta un modelo exponencial a datos de crecimiento poblacional?
2. ¿Qué significa la constante \(k\) en un modelo de crecimiento exponencial?
3. ¿Cómo afecta la población inicial \(P_0\) al crecimiento a largo plazo?
4. ¿Qué otras ecuaciones se pueden usar para modelar el crecimiento poblacional?
5. ¿Cómo cambia el modelo si la tasa de crecimiento es negativa?

**Tip:** Siempre verifica tus resultados cuando trabajes con modelos exponenciales, ya que pequeños errores en cálculos pueden producir grandes diferencias en las predicciones.

Como parte de una investigación de genética se cultiva una pequeña colonia de Drosophila (moscas pequeñas de las frutas, con dos alas) en un ambiente de laboratorio. El estudio inicia a los 2 días cuando se observa que la población de moscas ha aumentado a 200. Después de 5 días, la colonia tiene 400 moscas. a) Encuentre un modelo poblacional para las moscas después de t días. b) ¿Cuál será la población de la colonia en 10 días? c) ¿Cuándo la población de la colonia tendrá 5 000 moscas?

Explore how to model the exponential population growth of Drosophila (fruit flies) in a laboratory setting. This detailed solution covers how to determine the population growth model, predict future population sizes, and calculate when the population reaches 5,000. Suitable for students in Grades 10-12.

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