Se ha obtenido una muestra al azar de 150
 vendedores de una Editorial para estimar la proporción de vendedores en la Editorial que no alcanza un límite de ventas mínimo establecido por la dirección. De entre los seleccionados, 57
 no han conseguido llegar al límite de ventas mínimo establecido.                                                      
            a. Encuentre el error estándar para la proporción de trabajadores en la Editorial que no alcanza el limite.

          


b. Estime la verdadera proporción poblacional de trabajadores en la Editorial que no alcanza el limite a un 99
% de confianza.

     

Vamos a resolver el problema paso a paso. Primero, identifiquemos los datos relevantes:

- Tamaño de la muestra (\( n \)): 150
- Número de vendedores que no alcanzaron el límite (\( x \)): 57

### a. Error estándar de la proporción

La proporción muestral \( \hat{p} \) es:

\[
\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{57}{150} = 0.38
\]

El error estándar (EE) para la proporción se calcula usando la siguiente fórmula:

\[
EE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
EE = \sqrt{\frac{0.38 \times (1 - 0.38)}{150}} \approx \sqrt{\frac{0.38 \times 0.62}{150}} \approx \sqrt{\frac{0.2356}{150}} \approx \sqrt{0.0015707} \approx 0.0396
\]

Entonces, el error estándar para la proporción es aproximadamente **0.0396**.

### b. Intervalo de confianza del 99% para la proporción poblacional

Para calcular el intervalo de confianza del 99%, necesitamos el valor crítico \( Z \) asociado con un nivel de confianza del 99%. Este valor es aproximadamente 2.576.

El intervalo de confianza se calcula como:

\[
IC = \hat{p} \pm Z \times EE
\]

Sustituyendo los valores:

\[
IC = 0.38 \pm 2.576 \times 0.0396
\]

Primero, calculemos el margen de error:

\[
2.576 \times 0.0396 \approx 0.102
\]

Entonces, el intervalo de confianza es:

\[
0.38 - 0.102 \approx 0.278 \quad \text{y} \quad 0.38 + 0.102 \approx 0.482
\]

Por lo tanto, el intervalo de confianza del 99% para la verdadera proporción poblacional es aproximadamente **[0.278, 0.482]**.

---

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas que podrían interesarte:

1. ¿Cómo cambia el intervalo de confianza si usamos un nivel de confianza del 95%?
2. ¿Qué significa el error estándar en el contexto de este problema?
3. ¿Cómo afectaría un tamaño de muestra más grande al error estándar y al intervalo de confianza?
4. ¿Qué suposiciones estamos haciendo sobre la distribución de la muestra?
5. ¿Qué podría suceder si la proporción muestral fuera mucho más baja o más alta?

**Tip**: En análisis estadísticos, el tamaño de la muestra y el nivel de confianza influyen significativamente en la precisión de las estimaciones.

Explore how to estimate the proportion of workers in a company not reaching a sales limit using statistical methods. Learn the steps to calculate the standard error and construct a 99% confidence interval. Suitable for undergraduate students and those interested in statistical inference.

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