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Para resolver el problema, vamos a seguir los siguientes pasos:

### **Paso 1: Comprender lo que se pide**
La pregunta solicita que uses la gráfica de la función \( f(x) \) y estimes el valor de la derivada \( f'(3) \). Esto implica que necesitamos encontrar la pendiente de la tangente a la curva en el punto \( x = 3 \).

### **Paso 2: Analizar la gráfica**
Observa la gráfica que has proporcionado. La curva parece ser una parábola, ya que tiene una forma simétrica con un punto mínimo. Sabemos que la derivada \( f'(x) \) en un punto dado es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

### **Paso 3: Estimar \( f'(3) \)**
Para estimar \( f'(3) \), sigue estos pasos:

1. **Identificar el punto en la gráfica:**
   - En \( x = 3 \), ubica el punto en la curva. El punto parece estar cerca de \( (3, 1) \).

2. **Dibujar la tangente en \( x = 3 \):**
   - Imagínate o dibuja la línea recta que toca la curva solo en \( x = 3 \) y no cruza la curva en ningún otro punto cercano.

3. **Estimar la pendiente de esta tangente:**
   - Observa cómo sube o baja la tangente a medida que te mueves hacia la derecha. 
   - Si la curva es ascendente en \( x = 3 \), la pendiente será positiva.

En la gráfica, la curva está subiendo cuando \( x \) es 3, lo que significa que la pendiente (y por lo tanto \( f'(3) \)) es positiva.

### **Paso 4: Determinar la pendiente numéricamente**
Para determinar numéricamente la pendiente:

1. **Selecciona dos puntos cercanos en la tangente para calcular la pendiente:**
   - Por ejemplo, el punto en \( x = 2.5 \) podría estar en \( y = 0 \), y el punto en \( x = 3.5 \) podría estar en \( y = 2.5 \).

2. **Usa la fórmula de la pendiente:**
   \[
   m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
   \]
   - \( y_2 = 2.5 \), \( y_1 = 0 \), \( x_2 = 3.5 \), \( x_1 = 2.5 \).
   - \( m = \frac{2.5 - 0}{3.5 - 2.5} = \frac{2.5}{1} = 2.5 \).

Por lo tanto, la pendiente \( f'(3) \) es aproximadamente **2.5**.

### **Conclusión**
El valor estimado de \( f'(3) \) es **2.5**, lo cual representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto \( x = 3 \).

¿Tienes alguna pregunta sobre este proceso o te gustaría más detalles?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Qué significa la derivada en el contexto de una gráfica?
2. ¿Cómo se pueden encontrar derivadas si no tienes la gráfica disponible?
3. ¿Qué otras técnicas existen para calcular la derivada de una función?
4. ¿Cómo afecta la concavidad de la gráfica a la estimación de la derivada?
5. ¿Qué relación existe entre la segunda derivada y la pendiente de la función?

**Tip:** Cuando trabajes con gráficas, intenta siempre visualizar cómo se comporta la función en los alrededores del punto de interés para una estimación más precisa.

Learn how to estimate the derivative f'(3) of a function from its graph with a detailed step-by-step solution. This problem involves using the slope formula to find the slope of the tangent line at x = 3 on the graph of a function. Suitable for high school students.

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