Un recipiente de paredes delgadas que contiene un litro de dióxido de carbono se mantiene a una temperatura de 0 °C. El gas fluye hacia afuera por un hoyo de diámetro de 100 micrómetros. La presión fuera es lo suficientemente baja para que el flujo de vuelta al vaso sea despreciable. (El diámetro de una molécula de CO2 es cerca de los 4.5 x 10^-10 m y su peso molecular es de 44 kg / Kmol. a) Estime el límite superior de presión en el contenedor para que la efusión ocurra en el hoyo. b) Estime el tiempo, empezando a esta presión para que la presión vaya a la mitad de su valor inicial

Este problema involucra el fenómeno de efusión de gases, descrito por la **Ley de Graham**, que relaciona la velocidad de efusión de un gas con su masa molar y la presión. La efusión ocurre cuando las moléculas de gas escapan a través de un pequeño orificio sin colisionar entre sí dentro del orificio.

Vamos a resolver paso por paso.

### **a) Estimación del límite superior de presión en el contenedor para que la efusión ocurra:**

Para que la efusión ocurra, el diámetro del hoyo debe ser mucho menor que el camino libre medio de las moléculas de gas, lo que significa que las moléculas no deben colisionar entre sí en el orificio. El camino libre medio (\( \lambda \)) de las moléculas de gas se puede estimar usando la siguiente fórmula:

\[
\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}
\]

donde:
- \( k_B \) es la constante de Boltzmann (\( 1.38 \times 10^{-23} \, \text{J/K} \)),
- \( T \) es la temperatura absoluta en kelvin (para 0 °C, \( T = 273 \, \text{K} \)),
- \( d \) es el diámetro de la molécula de dióxido de carbono (\( d = 4.5 \times 10^{-10} \, \text{m} \)),
- \( P \) es la presión en el contenedor.

El límite superior de presión para la efusión ocurre cuando el camino libre medio (\( \lambda \)) es aproximadamente igual al diámetro del hoyo. El diámetro del hoyo es de \( 100 \, \mu m = 1.0 \times 10^{-4} \, \text{m} \).

Igualando \( \lambda \) al diámetro del hoyo:

\[
\frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P} = 1.0 \times 10^{-4}
\]

Despejamos \( P \):

\[
P = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 (1.0 \times 10^{-4})}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
P = \frac{(1.38 \times 10^{-23} \, \text{J/K}) (273 \, \text{K})}{\sqrt{2} \pi (4.5 \times 10^{-10} \, \text{m})^2 (1.0 \times 10^{-4} \, \text{m})}
\]

Calculamos este valor para obtener la presión límite superior.

### **b) Estimación del tiempo para que la presión vaya a la mitad de su valor inicial:**

Para este cálculo, se puede usar la Ley de Graham de la efusión, que establece que la tasa de efusión \( \dot{n} \) (número de moles que escapan por unidad de tiempo) es proporcional a la presión:

\[
\dot{n} = C P
\]

donde \( C \) es una constante que depende del área del orificio, la temperatura y la masa molar del gas. Para determinar cuánto tiempo tarda la presión en reducirse a la mitad, podemos usar el hecho de que la tasa de cambio de la presión está relacionada con la tasa de efusión:

\[
\frac{dP}{dt} = - k P
\]

La solución a esta ecuación diferencial es una ley exponencial:

\[
P(t) = P_0 e^{-kt}
\]

donde \( P_0 \) es la presión inicial y \( P(t) \) es la presión en el tiempo \( t \). Cuando la presión es la mitad de su valor inicial, \( P(t) = P_0 / 2 \), lo que nos da:

\[
\frac{P_0}{2} = P_0 e^{-kt}
\]

Dividiendo por \( P_0 \):

\[
\frac{1}{2} = e^{-kt}
\]

Tomando el logaritmo natural en ambos lados:

\[
\ln{\frac{1}{2}} = -kt
\]

\[
t = \frac{\ln{2}}{k}
\]

El valor de \( k \) depende del área del hoyo, la masa molar del gas y la temperatura. Se puede estimar \( k \) en función de estos parámetros y luego calcular el tiempo \( t \) para que la presión se reduzca a la mitad.

Vamos a proceder a calcular ambos resultados.El límite superior de la presión en el contenedor para que ocurra la efusión es aproximadamente **41.87 Pa**.

Ahora procederé a estimar el tiempo que tarda la presión en reducirse a la mitad. Para esto, primero calcularemos la constante \(k\) en función del área del hoyo y las propiedades del gas.El tiempo estimado para que la presión en el contenedor se reduzca a la mitad de su valor inicial es aproximadamente **974 segundos** (alrededor de 16 minutos).

¿Te gustaría que profundice en algún detalle o tienes alguna pregunta adicional?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determina el camino libre medio de un gas en diferentes condiciones de temperatura?
2. ¿Qué sucede si el diámetro del hoyo es mayor que el camino libre medio de las moléculas?
3. ¿Cómo cambiarían los resultados si el gas fuera diferente al dióxido de carbono?
4. ¿Qué otros factores pueden afectar la velocidad de efusión en gases?
5. ¿Cómo influye la temperatura en el tiempo de efusión?

**Tip**: Al reducir la temperatura de un gas, disminuye su energía cinética y, por lo tanto, el tiempo de efusión tiende a aumentar.

Un recipiente de paredes delgadas que contiene un litro de dióxido de carbono se mantiene a una temperatura de 0 °C. El gas fluye hacia afuera por un hoyo de diámetro de 100 micrómetros. La presión fuera es lo suficientemente baja para que el flujo de vuelta al vaso sea despreciable. (El diámetro de una molécula de CO2 es cerca de los 4.5 x 10^-10 m y su peso molecular es de 44 kg / Kmol. a) Estime el límite superior de presión en el contenedor para que la efusión ocurra en el hoyo. b) Estime el tiempo, empezando a esta presión para que la presión vaya a la mitad de su valor inicial.

Learn how to estimate the upper pressure limit for effusion in a CO2-filled container at 0°C and calculate the time for the pressure to halve. Using Graham's Law and kinetic theory, this problem provides a step-by-step solution for advanced physics or thermodynamics students.

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