cual es la imagen y dominio de  ∛3|x|-7


La función dada es \( f(x) = \sqrt[3]{3|x|} - 7 \). Ahora descompondremos el análisis:

### Imagen (Rango)
La imagen de una función es el conjunto de todos los posibles valores de salida. 

1. Primero, observemos que \( |x| \) es siempre no negativo (esto es, \( |x| \geq 0 \)).
2. Como estamos tomando una raíz cúbica, \( \sqrt[3]{3|x|} \), esta puede tomar cualquier valor real porque las raíces cúbicas están definidas para todo número real.
3. A continuación, le restamos 7: \( f(x) = \sqrt[3]{3|x|} - 7 \). Esto desplaza la función hacia abajo, pero no limita el valor de salida.
4. Por lo tanto, la imagen o rango de la función es \( \mathbb{R} \), ya que los valores de salida pueden ser cualquier número real.

### Dominio
El dominio de una función es el conjunto de valores de entrada \( x \) para los cuales la función está definida.

1. Dado que \( |x| \) está definido para cualquier valor de \( x \), no hay restricciones para los valores de \( x \).
2. La raíz cúbica \( \sqrt[3]{3|x|} \) está definida para cualquier número real.
3. Por lo tanto, el dominio de la función es \( \mathbb{R} \), es decir, todos los números reales.

### Resumen:
- **Dominio**: \( \mathbb{R} \) (todos los números reales).
- **Imagen**: \( \mathbb{R} \) (todos los números reales).

¿Te gustaría que detallara algo más o tienes alguna otra pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el valor absoluto dentro de una función?
2. ¿Cómo calcularías el valor exacto de la función para un \( x \) específico?
3. ¿Qué cambios tendrías si en lugar de una raíz cúbica fuera una raíz cuadrada?
4. ¿Cómo interpretarías el gráfico de \( f(x) = \sqrt[3]{3|x|} - 7 \)?
5. ¿Qué diferencia habría si no incluyéramos el valor absoluto en la función?

**Tip**: La raíz cúbica de un número negativo es negativa, a diferencia de la raíz cuadrada, que no está definida para números negativos en los reales.

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