Hallar el dominio de la siguiente función y evaluar su continuidad en 𝑥 = 0.
𝑓(𝑥) =
{
 
 
𝑒
𝑥 − 1
√𝑥
𝑠𝑖 𝑥 > 0
1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

Para hallar el **dominio** de la función \( f(x) \) definida por partes y analizar su continuidad en \( x = 0 \), seguimos los siguientes pasos:

### Función por partes:
\[
f(x) = 
\begin{cases} 
\frac{e^x - 1}{\sqrt{x}} & \text{si } x > 0 \\
1 - \sin(x) & \text{si } x \leq 0
\end{cases}
\]

### 1. **Dominio de la función**

La función está definida por partes, por lo que analizamos cada una por separado:

- Para \( x > 0 \), la función es \( \frac{e^x - 1}{\sqrt{x}} \).
  - \( \sqrt{x} \) implica que \( x \) debe ser mayor que 0, ya que la raíz cuadrada solo está definida para valores positivos.
  - \( e^x - 1 \) está definida para todo \( x \in \mathbb{R} \).

  Por lo tanto, esta parte de la función está definida para \( x > 0 \).

- Para \( x \leq 0 \), la función es \( 1 - \sin(x) \), que está bien definida para todo valor de \( x \), ya que \( \sin(x) \) es una función continua en todo \( \mathbb{R} \).

  Por lo tanto, esta parte de la función está definida para \( x \leq 0 \).

#### **Dominio total**: 
La función está bien definida para \( x > 0 \) y \( x \leq 0 \), por lo que el dominio es:
\[
D(f) = (-\infty, \infty)
\]

### 2. **Continuidad en \( x = 0 \)**

Para estudiar la continuidad en \( x = 0 \), necesitamos verificar tres condiciones:

- \( f(0) \) debe estar definido.
- El límite lateral cuando \( x \to 0^+ \) debe existir.
- El límite lateral cuando \( x \to 0^- \) debe existir.
- Además,

Hallar el dominio de la siguiente función y evaluar su continuidad en 𝑥 = 0. 𝑓(𝑥) = { 𝑒^𝑥 − 1 / √𝑥 si 𝑥 > 0, 1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) si 𝑥 ≤ 0 }

This problem explores the domain and continuity of a piecewise function involving an exponential term for x > 0 and a trigonometric term for x ≤ 0. It covers key calculus concepts such as limits and continuity, suitable for undergraduate calculus students.

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