Determine a soma a + b + c de forma a garantir que a função 
g
(
x
)
=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
a
,
x
=
2
x
2
−
x
−
2
,
2
<
x
<
4
b
x
+
4
,
4
≤
x
<
6
c
,
x
=
6
g
(
x
)
=
{
a
,
x
=
2
x
2
−
x
−
2
,
2
<
x
<
4
b
x
+
4
,
4
≤
x
<
6
c
,
x
=
6
 seja contínua no seu domínio [ 2, 6]

Para que a função \( g(x) \) seja contínua em seu domínio \([2, 6]\), precisamos garantir que não haja descontinuidades nos pontos de transição entre as diferentes partes da função. Esses pontos de transição ocorrem em \(x = 2\), \(x = 4\) e \(x = 6\).

A função \(g(x)\) está definida como:

\[
g(x) = \begin{cases} 
a, & x = 2 \\
x^2 - x - 2, & 2 < x < 4 \\
bx + 4, & 4 \leq x < 6 \\
c, & x = 6 
\end{cases}
\]

### Passo 1: Continuidade em \(x = 2\)

Para que a função seja contínua em \(x = 2\), o limite da função conforme \(x\) se aproxima de \(2\) pela esquerda e pela direita deve ser igual ao valor da função em \(x = 2\).

Temos que:

\[
\lim_{x \to 2^+} (x^2 - x - 2) = a
\]

Calculando o limite:

\[
\lim_{x \to 2^+} (x^2 - x - 2) = 2^2 - 2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0
\]

Logo, para garantir continuidade em \(x = 2\), devemos ter:

\[
a = 0
\]

### Passo 2: Continuidade em \(x = 4\)

Para garantir a continuidade em \(x = 4\), o valor da função \(g(x)\) conforme \(x\) se aproxima de 4 pela esquerda (usando \(x^2 - x - 2\)) deve ser igual ao valor conforme \(x\) se aproxima pela direita (usando \(bx + 4\)).

Temos que:

\[
\lim_{x \to 4^-} (x^2 - x - 2) = \lim_{x \to 4^-} (4^2 - 4 - 2) = 16 - 4 - 2 = 10
\]

E também:

\[
\lim_{x \to 4^+} (bx + 4) = 4b + 4
\]

Para garantir continuidade, esses dois limites devem ser iguais:

\[
10 = 4b + 4
\]

Resolvendo para \(b\):

\[
4b = 6 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{3}{2}
\]

### Passo 3: Continuidade em \(x = 6\)

Por fim, para garantir a continuidade em \(x = 6\), devemos ter:

\[
\lim_{x \to 6^-} (bx + 4) = c
\]

Substituindo \(b = \frac{3}{2}\):

\[
\lim_{x \to 6^-} \left(\frac{3}{2}x + 4\right) = \frac{3}{2} \cdot 6 + 4 = 9 + 4 = 13
\]

Logo, para garantir continuidade em \(x = 6\), devemos ter:

\[
c = 13
\]

### Conclusão

Os valores que garantem que a função seja contínua no intervalo \([2, 6]\) são:

\[
a = 0, \quad b = \frac{3}{2}, \quad c = 13
\]

A soma \(a + b + c\) é:

\[
a + b + c = 0 + \frac{3}{2} + 13 = \frac{3}{2} + 13 = \frac{3}{2} + \frac{26}{2} = \frac{29}{2}
\]

Portanto, a soma é:

\[
\boxed{\frac{29}{2}}
\]

---

Se precisar de mais detalhes ou tiver dúvidas, estou à disposição! Aqui estão algumas questões relacionadas para expandir o entendimento:

1. O que caracteriza uma função contínua em um intervalo?
2. Como podemos generalizar este processo para outras funções por partes?
3. Qual é o significado do limite em uma função descontínua?
4. Como lidar com descontinuidades removíveis?
5. Quais seriam as consequências se a função fosse descontínua em algum ponto?

**Dica**: A continuidade em funções por partes exige que os valores nos pontos de transição sejam bem definidos e iguais para todas as partes da função!

Determine a soma a + b + c de forma a garantir que a função g(x) = { a, x = 2; x^2 - x - 2, 2 < x < 4; bx + 4, 4 ≤ x < 6; c, x = 6 } seja contínua no seu domínio [2, 6].

Explore how to ensure the continuity of a piecewise function g(x) across its domain [2, 6] by determining appropriate values for a, b, and c. This problem involves key calculus concepts, such as continuity, limits, and algebraic manipulation. Suitable for undergraduate calculus students.

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