RESPONDE E EXPLIQQUE ESSA FUNÇÃO Considere a função f abre parênteses x fecha parênteses dada pela série



f abre parênteses x fecha parênteses igual a soma de n igual a 1 para infinito de espaço numerador cos à potência de n x sobre denominador n fatorial fim da fração



Podemos afirmar que :

		
O domínio de f abre parênteses x fecha parênteses e o intervalo menos 1 menor que x menor que 1 espaço e espaço f abre parênteses 0 fecha parênteses igual a 1;

		
O domínio de f abre parênteses x fecha parênteses é toda a reta real e f abre parênteses 0 fecha parênteses igual a e menos 1;

		
O domínio de f abre parênteses x fecha parênteses é toda a reta real e f abre parênteses 0 fecha parênteses igual a e mais 1;

		
O domínio de f abre parênteses x fecha parênteses e o intervalo menos 1 menor que x menor que 1 espaço e espaço f abre parênteses 0 fecha parênteses igual a e;

		
O domínio de f abre parênteses x fecha parênteses é toda a reta real e f abre parênteses 0 fecha parênteses igual a e.



Vamos analisar a função \( f(x) \) dada pela série:

\[
f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos^n(x)}{n!}.
\]

### Análise do Domínio de \( f(x) \)

Para determinar o domínio da função \( f(x) \), precisamos verificar para quais valores de \( x \) a série converge. 

#### Convergência da Série

A série é:

\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos^n(x)}{n!}.
\]

Podemos analisar essa série como uma série de potências de \( \cos(x) \). Se fizermos a substituição \( y = \cos(x) \), a série se transforma em:

\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!}.
\]

Essa é uma série conhecida, a série de Taylor para \( e^y - 1 \) (já que o termo constante \( n = 0 \) não está presente):

\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!} = e^y - 1.
\]

Portanto, para \( y = \cos(x) \), temos:

\[
f(x) = e^{\cos(x)} - 1.
\]

Como a função exponencial \( e^y \) é bem definida para todo \( y \in \mathbb{R} \), e como \( \cos(x) \) também é bem definido para todo \( x \in \mathbb{R} \), a função \( f(x) \) é bem definida para todo \( x \in \mathbb{R} \).

Logo, o domínio de \( f(x) \) é **toda a reta real**.

### Cálculo de \( f(0) \)

Agora vamos calcular \( f(0) \):

\[
f(0) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos^n(0)}{n!}.
\]

Sabemos que:

\[
\cos(0) = 1.
\]

Portanto:

\[
f(0) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1^n}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}.
\]

Esta série é a série de Taylor para \( e - 1 \) (novamente, sem o termo constante \( n = 0 \)):

\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = e - 1.
\]

Portanto:

\[
f(0) = e - 1.
\]

### Resumo

- **Domínio de \( f(x) \)**: Toda a reta real \( \mathbb{R} \).
- **Valor de \( f(0) \)**: \( e - 1 \).

### Resposta Correta

A resposta correta é:

**O domínio de \( f(x) \) é toda a reta real e \( f(0) = e - 1 \).**

Essa é a segunda opção.

### Dúvidas ou Detalhes Adicionais?

Gostaria de mais explicações ou tem alguma dúvida sobre os conceitos apresentados?

### Questões Relacionadas:

1. Como se determina o domínio de uma série infinita?
2. Qual é a importância da série de Taylor para entender séries infinitas?
3. O que é a convergência de uma série e como ela é determinada?
4. Como aplicar transformações de variáveis para simplificar séries?
5. Quais outras funções têm representações como séries infinitas?

#### Dica:

Ao analisar séries infinitas, é útil reconhecer padrões ou compará-las com séries conhecidas para determinar rapidamente a convergência e outros comportamentos da função.

Explore the mathematical analysis of the function f(x) given by the series sum_{n=1}^{infty} (cos^n(x)) / n!. Understand its domain, convergence, and specific value at f(0). Suitable for advanced mathematics enthusiasts.

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