Para cada item abaixo, verifique se o conjunto B é um conjunto linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).

B={(-3,1,0), (2,1,-1)}, onde V=R3

Resposta 1 Questão 1
B é LI
B={(1,1,0), (1,0,1), (2,1,1)}, onde V=R3

Resposta 2 Questão 1
B é LI
B={(-3,1), (2,5)}, onde V=R2

Resposta 3 Questão 1
B é LI
B={(-3,1), (2,5), (1,1)}, onde V=R2

Resposta 4 Questão 1
B é LD
B={(-3,1,0,2), (2,5,-3,0), (0,0,0,1}, onde V=R4

Resposta 5 Questão 1
B é LI
B={(1,1,0), (1,0,1), (2,1,1), (-1,-1,1)}, onde V=R3

Resposta 6 Questão 1
B é LD
B={(1,1,0), (1,0,1), (0,-1,0)}, onde V=R3 Conferir se estão certas essas respostas

Vamos verificar se cada um dos conjuntos \( B \) indicados é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).

### Resposta 1: \( B = \{(-3,1,0), (2,1,-1)\} \) em \( \mathbb{R}^3 \)
Para verificar se os vetores são LI ou LD, devemos verificar se a combinação linear:

\[
\alpha_1(-3, 1, 0) + \alpha_2(2, 1, -1) = (0, 0, 0)
\]

tem apenas a solução trivial \( \alpha_1 = 0 \) e \( \alpha_2 = 0 \).

Montando o sistema:

\[
\begin{cases}
-3\alpha_1 + 2\alpha_2 = 0 \\
\alpha_1 + \alpha_2 = 0 \\
0\alpha_1 - \alpha_2 = 0
\end{cases}
\]

O sistema tem solução \( \alpha_1 = 0 \) e \( \alpha_2 = 0 \). Portanto, \( B \) é LI.

**Resposta 1 está correta**.

### Resposta 2: \( B = \{(1,1,0), (1,0,1), (2,1,1)\} \) em \( \mathbb{R}^3 \)
Verificamos a combinação linear:

\[
\alpha_1(1, 1, 0) + \alpha_2(1, 0, 1) + \alpha_3(2, 1, 1) = (0, 0, 0)
\]

Sistema:

\[
\begin{cases}
\alpha_1 + \alpha_2 + 2\alpha_3 = 0 \\
\alpha_1 + \alpha_3 = 0 \\
\alpha_2 + \alpha_3 = 0
\end{cases}
\]

Este sistema tem como solução \( \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = 0 \). Portanto, \( B \) é LI.

**Resposta 2 está correta**.

### Resposta 3: \( B = \{(-3,1), (2,5)\} \) em \( \mathbb{R}^2 \)
A combinação linear é:

\[
\alpha_1(-3, 1) + \alpha_2(2, 5) = (0, 0)
\]

Sistema:

\[
\begin{cases}
-3\alpha_1 + 2\alpha_2 = 0 \\
\alpha_1 + 5\alpha_2 = 0
\end{cases}
\]

Solução \( \alpha_1 = 0 \), \( \alpha_2 = 0 \), então \( B \) é LI.

**Resposta 3 está correta**.

### Resposta 4: \( B = \{(-3,1), (2,5), (1,1)\} \) em \( \mathbb{R}^2 \)
Com 3 vetores em \( \mathbb{R}^2 \), eles são automaticamente LD, pois o número de vetores excede a dimensão do espaço.

**Resposta 4 está incorreta**. \( B \) é LD, não LI.

### Resposta 5: \( B = \{(-3,1,0,2), (2,5,-3,0), (0,0,0,1)\} \) em \( \mathbb{R}^4 \)
Verificamos a combinação linear:

\[
\alpha_1(-3,1,0,2) + \alpha_2(2,5,-3,0) + \alpha_3(0,0,0,1) = (0,0,0,0)
\]

Montando o sistema, podemos verificar que a solução para os coeficientes é a trivial \( \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = 0 \). Portanto, \( B \) é LI.

**Resposta 5 está correta**.

### Resposta 6: \( B = \{(1,1,0), (1,0,1), (2,1,1), (-1,-1,1)\} \) em \( \mathbb{R}^3 \)
Temos 4 vetores em \( \mathbb{R}^3 \), e assim eles são automaticamente LD.

**Resposta 6 está correta**.

### Resumo:
- **Resposta 1**: Correta, \( B \) é LI.
- **Resposta 2**: Correta, \( B \) é LI.
- **Resposta 3**: Correta, \( B \) é LI.
- **Resposta 4**: **Incorreta**, \( B \) é LD.
- **Resposta 5**: Correta, \( B \) é LI.
- **Resposta 6**: Correta, \( B \) é LD.

Gostaria de detalhes sobre algum desses resultados ou tem mais alguma questão? Aqui estão cinco perguntas que podem expandir o entendimento:

1. Como você determinaria a independência linear em um espaço de dimensão maior, como \( \mathbb{R}^4 \)?
2. Quais são as consequências de um conjunto de vetores ser linearmente dependente?
3. Como a dimensão de um espaço vetorial afeta a independência linear de um conjunto de vetores?
4. Existe um método mais rápido para verificar se um conjunto de vetores é linearmente independente sem montar o sistema de equações?
5. Como o conceito de independência linear é usado em outras áreas da matemática e da ciência?

**Dica**: Um conjunto de vetores que contém mais vetores do que a dimensão do espaço em que se encontram é sempre linearmente dependente.

Explore how to determine if a set of vectors in different dimensions (R^2, R^3, R^4) are linearly independent or dependent. Includes detailed solutions and explanations for various examples.

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