Al derivar la siguiente función ﻿f itálica paréntesis izquierdo x itálica paréntesis derecho itálica espacio itálica igual itálica espacio s e n elevado a itálica 2 itálica espacio x itálica espacio itálica más itálica espacio itálica 3 x﻿, y evaluarla en ﻿x itálica espacio itálica igual itálica espacio fracción pi entre itálica 4﻿ se obtiene el valor de 4.

Para verificar si al derivar la función \( f(x) = \sin^2(x) + 3x \) y evaluarla en \( x = \frac{\pi}{4} \) se obtiene un valor de 4, sigamos estos pasos:

### Paso 1: Derivada de la función \( f(x) = \sin^2(x) + 3x \)

Primero, debemos derivar \( f(x) \). 

Para la derivada de \( \sin^2(x) \), utilizamos la regla de la cadena:

\[
\frac{d}{dx}(\sin^2(x)) = 2\sin(x) \cdot \cos(x)
\]

Entonces, la derivada de \( f(x) \) es:

\[
f'(x) = 2\sin(x) \cos(x) + 3
\]

Usamos la identidad trigonométrica \( 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x) \), para simplificar la expresión:

\[
f'(x) = \sin(2x) + 3
\]

### Paso 2: Evaluar \( f'(x) \) en \( x = \frac{\pi}{4} \)

Ahora, sustituimos \( x = \frac{\pi}{4} \) en \( f'(x) \):

\[
f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + 3
\]

Calculamos el argumento de la función seno:

\[
2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}
\]

Sabemos que \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \). Entonces:

\[
f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + 3 = 4
\]

### Conclusión:
Sí, la derivada de la función \( f(x) = \sin^2(x) + 3x \) evaluada en \( x = \frac{\pi}{4} \) efectivamente da como resultado \( 4 \).

¿Tienes alguna pregunta o te gustaría obtener más detalles?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena en la derivación?
2. ¿Qué identidad trigonométrica convierte \( 2\sin(x)\cos(x) \) en \( \sin(2x) \)?
3. ¿Qué representa geométricamente la derivada de una función en un punto?
4. ¿Cómo se derivan funciones trigonométricas compuestas?
5. ¿Cuál es la interpretación física de la derivada en este contexto?

### Tip:
Recuerda que las identidades trigonométricas pueden simplificar la derivación de funciones complejas, ahorrando pasos y evitando errores.

Explore the derivative of the function f(x) = sin^2(x) + 3x and its evaluation at x = pi/4. Detailed steps and calculations demonstrate how the derivative yields a value of 4, covering derivative rules, chain rule application, and trigonometric identities.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation