f(x)= x + raiz de ((x elevado a 2) + (2), calcula la derivada en x=2

La función que has dado es:

\[
f(x) = x + \sqrt{x^2 + 2}
\]

Ahora vamos a calcular la derivada de esta función y luego evaluarla en \( x = 2 \).

### Paso 1: Derivada de la función

Para derivar \( f(x) \), aplicamos las reglas de derivación:

1. La derivada de \( x \) es simplemente \( 1 \).
2. La derivada de \( \sqrt{x^2 + 2} \) implica el uso de la regla de la cadena. Recordemos que la derivada de \( \sqrt{u(x)} \) es \( \frac{1}{2\sqrt{u(x)}} \cdot u'(x) \).

La derivada de \( f(x) \) es:

\[
f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2}} \cdot (2x)
\]

Simplificando:

\[
f'(x) = 1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 2}} = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}}
\]

### Paso 2: Evaluar en \( x = 2 \)

Sustituyendo \( x = 2 \) en la derivada obtenida:

\[
f'(2) = 1 + \frac{2}{\sqrt{2^2 + 2}} = 1 + \frac{2}{\sqrt{4 + 2}} = 1 + \frac{2}{\sqrt{6}}
\]

Racionalizando el denominador:

\[
f'(2) = 1 + \frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = 1 + \frac{2\sqrt{6}}{6} = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}
\]

Finalmente:

\[
f'(2) = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}
\]

Esta es la derivada de la función evaluada en \( x = 2 \).

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena en funciones más complejas?
2. ¿Qué pasos hay que seguir para derivar funciones compuestas?
3. ¿Cómo racionalizar denominadores en fracciones con raíces?
4. ¿Qué otros métodos existen para derivar funciones radicales?
5. ¿Cómo se interpreta la derivada de una función en un punto específico?

### Tip:
Siempre que tengas una función con raíces, aplica la regla de la cadena y revisa si puedes simplificar antes de derivar.

f(x) = x + raíz de (x^2 + 2), calcula la derivada en x = 2

Learn how to calculate the derivative of the function f(x) = x + √(x^2 + 2) and evaluate it at x = 2. This problem covers key calculus concepts such as the chain rule and derivatives of square roots. Step-by-step solution provided, suitable for high school calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation