En los ejercicios a) − i) encuentre la
derivada de cada una de las siguientes funciones.
2
a) G(x) = Z x
1
1
t
3 + 1
dt
b) F(x) = Z x
3
e
t
2−t
dt
c) F(x) = Z π
x
√
1 + sec t dt
d) G(x) = Z 1
x
cos √
t dt
e) H(x) = Z √
x
1
z
2 + 1
z
4 + 1
dz
f ) y =
Z tan x
0
q
t +
√
t dt
g) y =
Z cos x
sin x
√
1 + t
2 dt
h) H(x) = Z e
x
1
ln t dt
i) y =
Z 5x−3x
2
1−3x
u
3
1 + u
2
du

Los ejercicios que has proporcionado involucran la derivación de funciones dadas por integrales definidas. Este tipo de problemas se resuelve generalmente utilizando el **Teorema Fundamental del Cálculo** (Parte 1 y Parte 2) y, en algunos casos, la regla de la cadena. El teorema establece que si \( F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt \), la derivada de \( F(x) \) es:

\[
\frac{d}{dx} \left( \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt \right) = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)
\]

Esto depende de si los límites de integración son constantes o funciones de \( x \).

Ahora resuelvo cada uno de los apartados:

---

### a) \( G(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t^3 + 1} dt \)

Aquí tenemos una función que está definida desde 1 hasta \( x \). Según el Teorema Fundamental del Cálculo (Parte 1), si \( f(t) \) es continua, la derivada de la integral es simplemente el integrando evaluado en \( x \):

\[
G'(x) = \frac{1}{x^3 + 1}
\]

---

### b) \( F(x) = \int_{3}^{x} e^{t^2 - t} dt \)

De nuevo, estamos en la situación donde el límite inferior es constante y el límite superior es \( x \). Aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo (Parte 1):

\[
F'(x) = e^{x^2 - x}
\]

---

### c) \( F(x) = \int_{\pi}^{x} \sqrt{1 + \sec t} dt \)

Similar a los ejemplos anteriores, el límite inferior es constante, y el superior es \( x \):

\[
F'(x) = \sqrt{1 + \sec x}
\]

---

### d) \( G(x) = \int_{x}^{1} \cos(\sqrt{t}) dt \)

En este caso, el límite inferior es \( x \) y el límite superior es constante. Esto introduce un signo negativo al aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo:

\[
G'(x) = -\cos(\sqrt{x}) \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = -\cos(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}
\]

\[
G'(x) = -\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}
\]

---

### e) \( H(x) = \int_{1}^{\sqrt{x}} \frac{z^2 + 1}{z^4 + 1} dz \)

Aquí, el límite superior es \( \sqrt{x} \), así que necesitamos usar la regla de la cadena para la derivada:

\[
H'(x) = \frac{z^2 + 1}{z^4 + 1} \bigg|_{z = \sqrt{x}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{\left(\sqrt{x}\right)^2 + 1}{\left(\sqrt{x}\right)^4 + 1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}
\]

Simplificamos:

\[
H'(x) = \frac{x + 1}{x^2 + 1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{x + 1}{2\sqrt{x}(x^2 + 1)}
\]

---

### f) \( y = \int_{0}^{\tan x} \sqrt{t + \sqrt{t}} dt \)

Aquí el límite superior es \( \tan x \), por lo que necesitamos aplicar la regla de la cadena:

\[
y' = \sqrt{\tan x + \sqrt{\tan x}} \cdot \frac{d}{dx}(\tan x) = \sqrt{\tan x + \sqrt{\tan x}} \cdot \sec^2 x
\]

---

### g) \( y = \int_{\sin x}^{\cos x} \sqrt{1 + t^2} dt \)

Aquí ambos límites dependen de \( x \). Aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo (Parte 2):

\[
y' = \sqrt{1 + (\cos x)^2} \cdot (-\sin x) - \sqrt{1 + (\sin x)^2} \cdot \cos x
\]

\[
y' = -\sin x \cdot \sqrt{1 + \cos^2 x} - \cos x \cdot \sqrt{1 + \sin^2 x}
\]

---

### h) \( H(x) = \int_{1}^{e^x} \ln t dt \)

El límite superior es \( e^x \), así que nuevamente usamos la regla de la cadena:

\[
H'(x) = \ln(e^x) \cdot \frac{d}{dx}(e^x) = x \cdot e^x
\]

---

### i) \( y = \int_{1 - 3x}^{5x - 3x^2} \frac{u^3}{1 + u^2} du \)

Aquí ambos límites dependen de \( x \). Aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo (Parte 2):

\[
y' = \frac{(5x - 3x^2)^3}{1 + (5x - 3x^2)^2} \cdot (5 - 6x) - \frac{(1 - 3x)^3}{1 + (1 - 3x)^2} \cdot (-3)
\]

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda sobre alguno de los apartados?

---

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena en el cálculo de derivadas con límites variables?
2. ¿Qué implica el Teorema Fundamental del Cálculo en la derivación de integrales definidas?
3. ¿Cómo se calcula la derivada de una integral con ambos límites variables?
4. ¿Qué técnicas se pueden usar para simplificar expresiones con funciones trigonométricas y logarítmicas?
5. ¿Cómo afecta la derivación de una integral a la continuidad de la función original?

### Tip:
Cuando derivas una integral con límites variables, siempre considera la derivada de los límites para usar correctamente la regla de la cadena.

En los ejercicios a) − i) encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones.

Aprende a derivar funciones definidas por integrales utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo. Esta guía incluye ejemplos detallados desde integrales con límites constantes hasta límites variables. Ideal para estudiantes de cálculo avanzado.

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