Resuelve las siguientes operaciones. Indica todos los procedimientos utilizados. Mar: 𝑧1=−𝑖−2𝑖 ; 𝑧2=2−𝑖 y 𝑧3=1−𝑖       ENTONCES 10 ∗ (𝑧3)ELEVADO A 44 DIVIDIDO (𝑧1−𝑧2) ELEVADO A 2

### Datos del problema:
Se nos dan tres números complejos:
- \( z_1 = -i - 2i \)
- \( z_2 = 2 - i \)
- \( z_3 = 1 - i \)

Y se nos pide calcular la siguiente operación:

\[
10 \cdot \frac{z_3^{44}}{(z_1 - z_2)^2}
\]

Vamos a resolver paso a paso cada parte de la operación.

### Paso 1: Simplificar \( z_1 \)
Primero, simplifiquemos \( z_1 = -i - 2i \).

\[
z_1 = -3i
\]

### Paso 2: Restar \( z_1 - z_2 \)
Ahora calculemos \( z_1 - z_2 \):

\[
z_1 - z_2 = (-3i) - (2 - i) = -3i - 2 + i = -2 - 2i
\]

Por lo tanto:

\[
z_1 - z_2 = -2 - 2i
\]

### Paso 3: Elevar \( z_1 - z_2 \) al cuadrado
Necesitamos elevar \( z_1 - z_2 \) al cuadrado. Para esto, utilizamos la fórmula de expansión para números complejos \( (a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi \).

\[
(-2 - 2i)^2 = (-2)^2 - (2)^2 + 2(-2)(-2i) = 4 - 4 + 8i = 8i
\]

Por lo tanto:

\[
(z_1 - z_2)^2 = 8i
\]

### Paso 4: Elevar \( z_3 \) a la potencia 44
Ahora, calculemos \( z_3^{44} \) donde \( z_3 = 1 - i \).

Primero, expresamos \( z_3 \) en su forma polar. La magnitud de \( z_3 \) es:

\[
|z_3| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}
\]

El ángulo \( \theta \) (argumento) es:

\[
\theta = \text{atan2}(-1, 1) = -\frac{\pi}{4}
\]

Entonces, \( z_3 \) en forma polar es:

\[
z_3 = \sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right)
\]

Aplicamos la fórmula de De Moivre para calcular \( z_3^{44} \):

\[
z_3^{44} = \left( \sqrt{2} \right)^{44} \left( \cos\left(44 \cdot -\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(44 \cdot -\frac{\pi}{4}\right) \right)
\]

La magnitud es:

\[
\left( \sqrt{2} \right)^{44} = 2^{22}
\]

El ángulo es:

\[
44 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -11\pi
\]

Como el ángulo \( -11\pi \) es un múltiplo de \( 2\pi \), podemos simplificar:

\[
\cos(-11\pi) = -1 \quad \text{y} \quad \sin(-11\pi) = 0
\]

Por lo tanto:

\[
z_3^{44} = 2^{22} \cdot (-1 + 0i) = -2^{22}
\]

### Paso 5: Dividir \( z_3^{44} \) entre \( (z_1 - z_2)^2 \)
Ahora dividimos \( z_3^{44} \) entre \( (z_1 - z_2)^2 \):

\[
\frac{z_3^{44}}{(z_1 - z_2)^2} = \frac{-2^{22}}{8i}
\]

Simplificamos el coeficiente:

\[
\frac{-2^{22}}{8} = -2^{19}
\]

Por lo tanto:

\[
\frac{-2^{22}}{8i} = -2^{19} \cdot \frac{1}{i} = -2^{19} \cdot (-i) = 2^{19}i
\]

### Paso 6: Multiplicar por 10
Finalmente, multiplicamos por 10:

\[
10 \cdot 2^{19}i = 10 \cdot 524288i = 5242880i
\]

### Respuesta final:
\[
10 \cdot \frac{z_3^{44}}{(z_1 - z_2)^2} = 5242880i
\]

¿Tienes alguna duda o quieres más detalles de algún paso?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se representa un número complejo en forma polar?
2. ¿Qué es la fórmula de De Moivre y cómo se usa en potencias de números complejos?
3. ¿Cómo se realiza la multiplicación y división de números complejos?
4. ¿Qué propiedades tienen los números complejos elevados a una potencia alta?
5. ¿Cuál es la interpretación geométrica de dividir dos números complejos?

### Tip:
Para elevar un número complejo a una potencia alta, la forma polar es más eficiente que la forma cartesiana.

Resuelve las siguientes operaciones. Indica todos los procedimientos utilizados. Mar: 𝑧1=−𝑖−2𝑖 ; 𝑧2=2−𝑖 y 𝑧3=1−𝑖 ENTONCES 10 ∗ (𝑧3)ELEVADO A 44 DIVIDIDO (𝑧1−𝑧2) ELEVADO A 2

Learn how to solve complex number operations involving exponentiation and division. This problem includes detailed steps on using polar form and De Moivre's Theorem to compute 10 ∗ (𝑧3)^44 / (𝑧1 − 𝑧2)^2. Ideal for students in Grades 11-12.

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